|
We kunnen gemeenschappelijke factoren buiten haakjes halen:
\[\begin{array}{rcl}\blue{a}\green{b}+\blue{a}\purple{c} &=& \blue{a}(\green{b}+\purple{c}) \\ \\
\blue{a}\purple{c}+\green{b}\purple{c}&=&(\blue{a}+\green{b})\purple{c}\end{array}\]
Zoals in de voorbeelden te zien is, kan de gemeenschappelijke factor zowel een getal als een uitdrukking met een variabele zijn.
|
Voorbeelden
\[\begin{array}{rcl}3x+27&=&\blue{3} \cdot \green{x}+\blue{3}\cdot \purple{9}\\&=&\blue{3} \cdot (\green{x}+\purple{9})\\ \\ 3x^2+x &=& \blue{x} \cdot \green{3x} + \blue{x} \cdot \purple{1} \\&=& \blue{x} \cdot (\green{3x}+ \purple{1})\\ \\ 4x^2+8x&=& \blue{4x} \cdot \green{x} + \blue{4x} \cdot \purple{2} \\&=& \blue{4x} \cdot (\green{x}+ \purple{2})\end{array}\]
|
De regel hierboven geldt ook voor meerdere termen binnen de haakjes:
\[\begin{array}{rcl}\blue{a} \cdot \green{b} + \blue{a} \cdot \purple{c} + \blue{a} \cdot \color{purple}{d}&=&\blue{a} \cdot \left(\green{b}+\purple{c}+\color{purple}{d}\right) \\ \\
\blue{a} \cdot \green{b} + \blue{a} \cdot \purple{c} + \blue{a} \cdot \color{purple}{d}+\blue{a} \cdot \orange{e}&=&\blue{a} \cdot \left(\green{b}+\purple{c}+\color{purple}{d}+\orange{e}\right)\end{array}\]
Voorbeelden
\[\begin{array}{rcl}2x^3+4x^2+6x&=&\blue{2x} \cdot \green{x^2} + \blue{2x} \cdot \purple{2x} + \blue{2x} \cdot \color{purple}{3}\\&=&\blue{2x} \cdot \left(\green{x^2}+\purple{2x}+\color{purple}{3}\right) \\ \\ 4x^4+8x^3+4x^2+12x&=&\blue{4x} \cdot \green{x^3} + \blue{4x} \cdot \purple{2x^2} + \blue{4x} \cdot \color{purple}{x}+\blue{4x} \cdot \orange{3}\\&=&\blue{4x} \cdot \left(\green{x^3}+\purple{2x^2}+\color{purple}{x}+\orange{3}\right)\end{array}\]
In de regel hierboven zijn er vaak meerdere opties om factoren buiten haakjes te halen. Als we een factor #4# buiten haakjes halen, hadden we ook een factor #2# buiten haakjes kunnen halen. In het algemeen zijn we geïnteresseerd in de grootst mogelijke factor buiten haakjes te halen.
Als we zo veel mogelijk factoren buiten haakjes hebben gehaald, spreken we van een ontbinding in factoren. Het proces van buiten haakjes halen noemen we ontbinden in factoren.
In de onderstaande voorbeelden zullen we zien dat we soms meerdere factoren buiten haakjes kunnen halen. De laatste ontbinding zullen we de ontbinding in factoren noemen, omdat dan de grootste gemeenschappelijke term buiten haakjes is gehaald.
\[\begin{array}{rcl} 4x^2+2x &=& 2 \cdot (x^2 +x) \\ &=& 2x \cdot (x +1) \end{array}\]
De grootste factor die in bovenstaand voorbeeld buiten haakjes gehaald kan worden is dus #2x#. De ontbinding in factoren is dan: #2x \cdot (x +1)#
\[\begin{array}{rcl} 4x^3+8x^2 &=& 4 \cdot (x^3 +2x^2) \\ &=& 4x \cdot (x^2 +2x) \\ &=& 4x^2 \cdot (x+2) \end{array}\]
De grootste factor die in bovenstaand voorbeeld buiten haakjes gehaald kan worden is dus #4x^2#. De ontbinding in factoren is dan: #4x^2 \cdot (x+2)#
Op de volgorde van de termen in het product en vermenigvuldiging met constanten na is de ontbinding uniek als geen enkele factor verder te ontbinden is.
Op dit moment rekenen we hierbij alleen met gehele getallen en breuken en niet met wortels.
Haal zo veel mogelijk factoren buiten haakjes: #9\cdot z-27#.
#9\cdot \left(z-3\right)#
Bij het ontbinden in factoren kijken we naar de grootste factor die beide termen gemeenschappelijk hebben. In dit geval is de grootste gemeenschappelijke factor #9#.
\[\begin{array}{rcl}
9\cdot z-27 &=& 9 \cdot z + 9 \cdot -3
\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{geschreven met gemeenschappelijke factor }}\\
&=& 9\cdot \left(z-3\right)
\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{ontbonden }}\\
\end{array}\]
Factoren buiten haakjes halen
