Simplificación de fracciones

Álgebra: Suma y resta de fracciones

Simplificación de fracciones

Fracciones semejantes

Una fracción permanece igual si el #\orange{\text{numerador}}# y el #\blue{\text{denominador}}#:	Ejemplos
1. se multiplican por el mismo número	\[\begin{array}{rcll} \dfrac{\orange{3x+1}}{\blue{x+2}} &=& \dfrac{\orange{6x+2}}{\blue{2x+4}} \end{array}\]
2. se multiplican por la misma variable	\[\begin{array}{rcll}\dfrac{\orange{x}}{\blue{y}} &=& \dfrac{\orange{x \cdot z}}{\blue{y \cdot z}} \end{array}\]
3. se dividen por el mismo número	\[\begin{array}{rcll} \dfrac{\orange{4x+2}}{\blue{2x+2}} &=& \dfrac{\orange{2x+1}}{\blue{x+1}}\end{array}\]
4. se dividen por la misma variable	\[\begin{array}{rcll}\dfrac{\orange{x}}{\blue{x^2+x}} &=& \dfrac{\orange{1}}{\blue{x+1}} \end{array}\]

Simplificación de fracciones

El proceso de reducir el numerador y el denominador se llama simplificación de una expresión.

Ejemplo

\[\dfrac{\orange{x}}{\blue{x^2+x}} = \dfrac{\orange{1}}{\blue{x+1}} \]

Factorización

En el ejemplo de la derecha, vemos que la factorización se puede usar para encontrar términos semejantes en el numerador y el denominador. Estos términos comunes se pueden eliminar por medio de la división, lo cual simplifica la fracción.

Ejemplos

#\begin{array}{rcl}\dfrac{\orange{x+2}}{\blue{x^2+5 \cdot x +6}} &=& \dfrac{\orange{x+2}}{\blue{(x+2) \cdot (x+3)}} \\ &=& \dfrac{\orange{1}}{\blue{x+3}} \end{array}#

Echa otro vistazo a la reducción anterior:

\[\dfrac{\blue{x}}{\blue{x}^2+\blue{x}} = \dfrac{{1}}{\blue{x}+1} \]

Si consideramos que #\blue x=\green 0# en la expresión de la izquierda, dividiremos por cero, lo cual no está permitido. Por otro lado, la expresión de la derecha es igual a #1# si consideramos que #\blue x=\green 0#. La igualdad no es válida si #\blue x=\green 0#.

En general, las igualdades al reducir solo son válidas para los números para los que se definió la expresión original. Si queremos ser exactos, podemos escribir para qué números está definida la expresión pero, en general, no lo hacemos.

Calcula #\dfrac{\blue{x}}{\blue{x}^2+\blue{x}}# para #\blue{x}=\green{0}#:

\[\dfrac{\green{0}}{\green 0^2+\green 0} = \dfrac{0}{0}\]

Calcula #\dfrac{{1}}{\blue{x}+1}# para #\blue{x}=\green{0}#:

\[\dfrac{1}{\green 0+1} = \dfrac{1}{1}\]

Simplifica tanto como sea posible (sin expandir los paréntesis):
\[\dfrac{2\cdot \left(c+1\right)^5\cdot b^2\cdot a^5}{\left(c+1\right)^{15}\cdot a^{15}}\]

#{{2\cdot b^2}\over{\left(c+1\right)^{10}\cdot a^{10}}}#

#\begin{array}{rcl}
\dfrac{2\cdot \left(c+1\right)^5\cdot b^2\cdot a^5}{\left(c+1\right)^{15}\cdot a^{15}}
&=& \displaystyle {{2\cdot b^2}\over{\left(c+1\right)^{10}\cdot a^{10}}}
\\ && \phantom{xxx}\blue{\text{factor común dividido por } \left(c+1\right)^5\cdot a^5 \text{ }}
\end{array}#

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