Vereenvoudigen van breuken

Algebra: Breuken

Vereenvoudigen van breuken

Gelijkwaardige breuken

Een breuk verandert niet als #\orange{\text{teller}}# en #\blue{\text{noemer}}#	Voorbeelden
1. met hetzelfde getal vermenigvuldigd worden	\[\begin{array}{rcll} \dfrac{\orange{3x+1}}{\blue{x+2}} &=& \dfrac{\orange{6x+2}}{\blue{2x+4}} \end{array}\]
2. met dezelfde variabele vermenigvuldigd worden	\[\begin{array}{rcll}\dfrac{\orange{x}}{\blue{y}} &=& \dfrac{\orange{x \cdot z}}{\blue{y \cdot z}} \end{array}\]
3. door hetzelfde getal gedeeld worden	\[\begin{array}{rcll} \dfrac{\orange{4x+2}}{\blue{2x+2}} &=& \dfrac{\orange{2x+1}}{\blue{x+1}}\end{array}\]
4. door dezelfde variabele gedeeld worden	\[\begin{array}{rcll}\dfrac{\orange{x}}{\blue{x^2+x}} &=& \dfrac{\orange{1}}{\blue{x+1}} \end{array}\]

Vereenvoudigen van breuken

Het proces van kleiner maken van teller en noemer heet het vereenvoudigen van een breuk.

Voorbeeld

\[\dfrac{\orange{x}}{\blue{x^2+x}} = \dfrac{\orange{1}}{\blue{x+1}} \]

Ontbinden in factoren

In het voorbeeld hiernaast zien we dat ontbinden in factoren gebruikt kan worden om gemeenschappelijke factoren in teller en noemer te vinden. Deze gemeenschappelijke factoren kunnen dan weggedeeld worden, waardoor de breuk vereenvoudigd wordt.

Voorbeelden

#\begin{array}{rcl}\dfrac{\orange{x+2}}{\blue{x^2+5 \cdot x +6}} &=& \dfrac{\orange{x+2}}{\blue{(x+2) \cdot (x+3)}} \\ &=& \dfrac{\orange{1}}{\blue{x+3}} \end{array}#

Bekijk nog eens de herleiding hierboven:

\[\dfrac{\blue{x}}{\blue{x}^2+\blue{x}} = \dfrac{{1}}{\blue{x}+1} \]

Als we #\blue x=\green 0# invullen in de linker uitdrukking, delen we door nul, wat niet mogelijk is. Daarentegen is de rechter uitdrukking gelijk aan #1# als we #\blue x=\green 0# invullen. De gelijkheid geldt dus niet als #\blue x=\green 0#.

In het algemeen gelden de gelijkheden bij herleiden alleen voor getallen waarvoor de oorspronkelijke uitdrukking gedefineerd was. Als we precies willen zijn kunnen we opschrijven voor welke getallen de uitdrukking gedefineerd is, maar dit doen we in het algemeen niet.

Bereken #\dfrac{\blue{x}}{\blue{x}^2+\blue{x}}# voor #\blue{x}=\green{0}#:

\[\dfrac{\green{0}}{\green 0^2+\green 0} = \dfrac{0}{0}\]

Bereken #\dfrac{{1}}{\blue{x}+1}# voor #\blue{x}=\green{0}#:

\[\dfrac{1}{\green 0+1} = \dfrac{1}{1}\]

Vereenvoudig de breuk zo ver mogelijk (zonder de haakjes uit te werken):
\[\dfrac{-2\cdot a^5\cdot b^2\cdot \left(c+1\right)^3}{a^4\cdot b^3\cdot \left(c+1\right)^5}\]

#-{{2\cdot a}\over{b\cdot \left(c+1\right)^2}}#

#\begin{array}{rcl}
\dfrac{-2\cdot a^5\cdot b^2\cdot \left(c+1\right)^3}{a^4\cdot b^3\cdot \left(c+1\right)^5}
&=& \displaystyle -{{2\cdot a}\over{b\cdot \left(c+1\right)^2}}
\\ && \phantom{xxx}\blue{\text{gemeenschappelijke factor } a^4\cdot b^2\cdot \left(c+1\right)^3 \text{ weggedeeld}}
\end{array}#

Nieuw voorbeeld