Het begrip afgeleide

Differentiëren: De afgeleide

Het begrip afgeleide

De hellingsfunctie is een functie die voor elk punt #x# aangeeft wat de helling in dat punt is, met andere woorden, een functie die aan een punt #x# de richtingscoëfficient van de raaklijn toekent.

De hellingsfunctie

De helling van een functie #\blue{f}# in een punt #a# kunnen we berekenen door het differentiequotiënt te berekenen voor #[a,a+\orange{h}]# en #\orange{h}# naar nul te laten gaan, dit noteren we als volgt:

\[\orange{h}\to0\]

Als we het differentiequotiënt niet in een punt maar in een variabele #x# bepalen dan krijgen we de hellingsfunctie van #\blue{f}#. De hellingsfunctie noteren we met #\green{f'}#.

Bij het voorbeeld rechts staat alleen bij de op een na laatste stap aangegeven #\orange{h} \to 0#. dit hoort echter bij iedere stap te staan, maar we hebben het voor het gemak weggelaten.

Voorbeeld

\[\begin{array}{rcl}
\blue{f(x)}&=&\blue{x^2} \\
\green{f'(x)}&=&\dfrac{\blue{(}x+\orange{h}\blue{)^2}-\blue{x^2}}{\orange{h}}\\&=&\dfrac{\blue{x^2}+2x\cdot \orange{h}+\orange{h}^2-\blue{x^2}}{\orange{h}}\\&=&\dfrac{2x\cdot \orange{h}+\orange{h}^2}{\orange{h}}\\&=&2x+\orange{h} \quad \text{met} \quad \orange{h} \to 0\\&=& \green{2x} \end{array}\]

We noemen de hellingsfunctie #f'# de afgeleide van #f#.

De afgeleide

De afgeleide van een functie #\blue{f}# noteren we als #f'#:

\[f'(x)=\dfrac{\blue{f(}x+\orange{h}\blue{)}-\blue{f(}x\blue{)}}{\orange{h}} \quad \text{met} \quad \orange{h}\to 0\]

De afgeleide van een functie #f# berekenen noemen we het differentiëren van #f#.

We kunnen niet iedere functie differentiëren. Functies waarvan de de afgeleide kunnen bepalen noemen we differentieerbaar. In deze cursus gaat het alleen over differentieerbare functies.

Als we#\frac{\dd}{\dd x}f# of #\frac{\dd f}{\dd x}# schrijven bedoelen we #f'#. Deze drie schrijfwijzen betekenen hetzelfde.

plaatje

We kijken nu voornamelijk naar het afleiden van een functie van de vorm #f(x)=...#. We kunnen ook natuurlijk functies afleiden met een andere variabele, zoals #g(t)# of #h(y)#. Dan krijgen we respectievelijk

\[\begin{array}{rcl}f'(x)&=&\displaystyle\frac{\dd}{\dd x}\left(f(x)\right)\\
g'(t)&=&\displaystyle\frac{\dd}{\dd t}\left(g(t)\right)\\
h'(y)&=&\displaystyle\frac{\dd}{\dd y}\left(h(y)\right)\end{array}\]

In woorden We kunnen dus de afgeleide berekenen door eerst het differentiequotiënt op een interval van lengte #\orange{h}# te berekenen, en daarna #\orange{h}# naar nul te laten gaan. De waarde die we hiermee verkrijgen is de helling van de grafiek in #x#. Ofwel, de richtingscoëfficient van de raaklijn in het punt #x#.

Een voorbeeld van een niet differentieerbare functie is de absolute waarde functie #\blue{f(x)}=\blue{\abs{x}}#. Dit is de functie die de waarde #x# aanneemt als #x# groter of gelijk #0# is, en de waarde #-x# aanneemt als #x# kleiner is dan #0#.

Deze functie is niet differentieerbaar in het punt #0#, omdat we geen eenduidige definitie voor de raaklijn hebben. In het plaatje zien we de functie #\blue{f(x)}=\blue{\abs{x}}# en twee mogelijke raaklijnen getekend.

Plaatje

De afgeleide waarde De afgeleide in een punt #a# wordt dus gegeven door #f'(a)# en wordt ook wel de afgeleide waarde in #a# genoemd, of de afgeleide in #a#. Dit is de helling van de de functie in het punt #a#.

Bepaalde de afgeleide van de functie #f(x)={{x^2}\over{4}}#.

#f'(x)={{x}\over{2}}#

Voor #h# naar #0# vinden we
\[\begin{array}{rcl}f'(x)&=&\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\\\\&&\phantom{xx}\blue{\text{definitie afgeleide}}\\&=&\displaystyle {{{{\left(h+x\right)^2}\over{4}}-{{x^2}\over{4}}}\over{h}}\\&&\phantom{xx}\blue{\text{functievoorschrift ingevuld}}\\&=&\displaystyle{{h}\over{4}}+{{x}\over{2}}\\&&\phantom{xx}\blue{\text{vereenvoudigd}}\\&=&\displaystyle {{x}\over{2}}\\&&\phantom{xx}\blue{h\text{ naar }0\text{ laten gaan}}\end{array}\]

Nieuw voorbeeld