In het hoofdstuk over goniometrische functies hebben we gezien dat #\tan(x)# gedefiniëerd is als #\frac{\sin(x)}{\cos(x)}#. Nu we de afgeleiden van #\sin(x)# en #\cos(x)# weten, kunnen we met behulp van de quotiëntregel, die later wordt behandeld, de afgeleide van #\tan(x)# eenvoudig bepalen.

We kunnen het echter ook bewijzen door gebruik te maken van de productregel en de kettingregel. Hiervoor schrijven we \[f(x)=\tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}=\sin(x)\cdot \dfrac{1}{\cos(x)}\] De productregel geeft \[f'(x)=\cos(x)\cdot \dfrac{1}{\cos(x)} + \sin(x)\cdot \left(\dfrac{1}{\cos(x)}\right)'=1+\sin(x)\cdot \left(\dfrac{1}{\cos(x)}\right)'\]We kunnen de afgeleide #\left(\dfrac{1}{\cos(x)}\right)'# berekenen door deze te zien als de compositie van #\dfrac{1}{x}# en #\cos(x)#. Kettingregel toepassen geeft \[\left(\dfrac{1}{\cos(x)}\right)'= -\dfrac{1}{\cos(x)^2}\cdot (-\sin(x))=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)^2}\]We vullen dit in in de afgeleide van #f(x)#:\[f'(x)=1 + \sin(x)\cdot \left(\dfrac{1}{\cos(x)}\right)'=1+\sin(x)\cdot \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)^2}=1+\dfrac{\sin(x)^2}{\cos(x)^2}=1+\tan(x)^2\]