Differentiëren: De afgeleide
Het differentiequotiënt
Verandering speelt een grote rol in het bestuderen van wiskunde en in het bijzonder bij het bestuderen van functies. In het volgende voorbeeld kijken we naar de gemiddelde verandering op een gekozen interval.
We berekenen de gemiddelde verandering op het interval #[2,4]# voor de functie #f(x)=2x-2#.
De horizontale verandering #\blue{\Delta x}# is: \[\blue{\Delta x} = 4 - 2 = \blue{2}\] De verticale verandering #\green{\Delta y}# is: \[\green{\Delta y} = f(4)-f(2)=6 - 2 = \green{4}\] De gemiddelde verandering is dus:
\[\frac{\green{\Delta y}}{\blue{\Delta x}} = \frac{\green{4}}{\blue{2}}=2\]
Merk op dat de notatie #[a,b]# voor een interval ook gebruikt kan worden voor coördinaten.
We noemen de gemiddelde verandering op een interval ook wel het differentiequotiënt.
Differentiequotiënt
Het differentiequotiënt van een functie #f# op een interval #[a,b]# wordt gegeven door:
\[\dfrac{\green{\Delta y}}{\blue{\Delta x}}=\dfrac{\green{f(b)-f(a)}}{\blue{b-a}}\]
#\begin{array}{rcl}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}&=&\dfrac{f(4)-f(3)}{4-3}\\&&\phantom{xxx}\blue{a=3 \text{ en }b= 4}\\
&=&\dfrac{(2\cdot 4^3+1\cdot 4 + 2)-(2\cdot3^3+1\cdot3 + 2)}{4-3}\\&&\phantom{xxx}\blue{x=3 \text{ en } x=4 \text{ gesubstitueerd in } f}\\ &=& \dfrac{75}{1}\\&&\phantom{xxx}\blue{\text{opgeteld}}\\ &=&75\\&&\phantom{xxx}\blue{\text{gedeeld}}\end{array}#
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
