Differentiëren: De afgeleide
Het differentiequotiënt in een punt
Met behulp van het differentiequotiënt kunnen we de verandering in één punt van een grafiek benaderen.
Voor de functie #\blue{f(x)}=\blue{x^2}# willen we de verandering in het punt #\green{x}=\green{2}# benaderen. Daarvoor nemen we het differentiequotiënt over een interval rond #\green{2}#: \[[\green{2},\green{2}+\orange{h}],\]
waarbij we #\orange{h}# steeds kleiner kiezen.
Hoe kleiner we #\orange{h}# kiezen, hoe beter we de verandering in het punt benaderen. We zien dat deze waardes steeds dichter bij #4# liggen als we #\orange{h}# kleiner kiezen. De verandering in een punt noemen we ook wel de helling.
Voor elke functie kunnen we de verandering in een punt #x=a# benaderen door het differentiequotiënt op het interval #[a,a+h]# te bepalen.
De differentiequotiënt op een interval van lengte h
Voor een functie #\blue{f}# is het differentiequotiënt in het punt #\green{x}=\green{a}# met verschil #\orange{h}# als volgt gedefiniëerd:
\[\dfrac{\Delta y}{\Delta x}= \dfrac{f(\green{a}+\orange{h})-f(\green{a})}{\orange{h}}\]
We kunnen #\orange{h}# laten staan in onze berekening.
Voorbeeld
#\blue{f(x)}=\blue{x^2}# en #\green{a}=\green{4}# geven:
\[\begin{array}{rcl}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}&=& \dfrac{(\green{4}+\orange{h})^2-\green{4}^2}{\orange{h}}\\&=& \dfrac{16+8\cdot\orange{h}+\orange{h}^2-16}{\orange{h}} \\&=& \dfrac{8\cdot\orange{h}+\orange{h}^2 }{\orange{h}} \\&=& 8+\orange{h}\end{array}\]
#\begin{array}{rcl}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}&=& \dfrac{f(6+h)-f(6)}{h}\\&&\phantom{xxx}\blue{\text{definitie differentiequotiënt in }x=6 }\\&=&\dfrac{2\cdot(6+h)+2-(2\cdot6+2)}{h}\\&&\phantom{xxx}\blue{6 \text{ ingevuld in }f}\\
&=&\dfrac{12+2\cdot h -12}{h}\\&&\phantom{xxx}\blue{\text{haakjes weggewerkt}}\\&=&\dfrac{2\cdot h}{h}\\&&\phantom{xxx}\blue{\text{opgeteld}}\\&=&2\\&&\phantom{xxx}\blue{h \text{ weggedeeld}}\end{array}#
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
