Kwadratische vergelijkingen oplossen met ontbinden in factoren

Kwadratische formules en vergelijkingen: Kwadratische vergelijkingen

Kwadratische vergelijkingen oplossen met ontbinden in factoren

We hebben gezien hoe we Factoren buiten haakjes kunnen halen en kunnen Ontbinden in factoren. We zullen nu zien hoe we deze vaardigheden kunnen gebruiken om een kwadratische vergelijking snel op te kunnen lossen.

Product is nul

Een vergelijking van de vorm \[\blue A \cdot \green B =0\]

geeft

\[\blue A=0 \lor \green B=0\]

Voorbeeld

\[ \left(\blue{x-2}\right) \left(\green{x+4}\right)=0 \]

geeft

\[\blue{x-2}=0 \lor \green{x+4}=0 \]

Deze stelling is waar, omdat iets vermenigvuldigd met #0# altijd gelijk is aan #0#. We zullen dit nog iets nauwkeuriger bekijken.

Bekijk de vergelijking #\blue A \cdot \green B =0#. Hierbij kunnen we de volgende gevallen onderscheiden.

#\blue A =0# en #\green B=0#

In dit geval staat er aan de linkerkant van de vergelijking #\blue0 \cdot \green0#.

Omdat #0\cdot 0=0# is deze vergelijking altijd waar. Dus de vergelijking is waar als #\blue A=0# en #\green B=0#.

#\blue A =0# en #\green B \ne 0#

In dit geval staat er aan de linkerkant van de vergelijking #\blue0 \cdot \green B#.

Omdat #0# keer iets altijd #0# is, geldt #\blue0 \cdot \green B=0#. Dus de vergelijking is waar als #\blue A=0# en #\green B# een willekeurig ander getal ongelijk aan #0# is.

#\blue A \ne 0# en #\green B =0#

In dit geval staat er aan de linkerkant van de vergelijking #\blue A \cdot \green0#.

Omdat #0# keer iets altijd #0# is, geldt #\blue A \cdot \green0=0#. Dus de vergelijking is waar als #\green B=0# en #\blue A# een willekeurig ander getal ongelijk aan #0# is.

#\blue A \ne 0# en #\green B \ne 0#

In dit geval staat er aan de linkerkant van de vergelijking #\blue A \cdot \green B#.

Omdat #\blue A# en #\green B# allebei ongelijk aan #0# zijn, geldt #\blue A \cdot \green B \ne 0#.

Samengevat: de vergelijking #\blue A \cdot \green B =0# is dan en slechts dan waar als #\blue A=0# of #\green B=0#.

Deze stelling kunnen we gebruiken om een kwadratische vergelijking die ontbonden kan worden in factoren snel op te lossen.

Kwadr‍atische vergelijkingen oplossen met ontbinden in factoren

	Stappenplan	Voorbeeld
	We lossen een kwadratische vergelijking in onbekende #x# op met behulp van ontbinden in factoren.	#2x^2+6x+4=6x+6#
Stap 1	Herleid de vergelijking totdat de rechterkant gelijk is aan #0#.	#2x^2-2=0#
Stap 2	Zorg dat de coëfficiënt voor #x^2# gelijk wordt aan #1#.	#x^2-1=0#
Stap 3	Ontbind de linkerkant van de vergelijking in factoren.	#\left(\blue{x+1}\right) \left(\green{x-1}\right)=0#
Stap 4	Pas de regel #\blue A \cdot \green B =0# geeft #\blue A=0 \lor \green B=0# toe.	#\blue{x+1}=0 \lor \green{x-1}=0#
Stap 5	Los de vergelijkingen #\blue A=0# en #\green B=0# op.	#x=-1 \lor x=1#

Niet alle vergelijkingenZoals we bij Ontbinden in factoren al gezien hebben, kunnen niet alle kwadratische uitdrukkingen in factoren ontbonden worden. Dit betekent ook dat niet alle kwadratische vergelijkingen met dit stappenplan opgelost kunnen worden. We zullen later een oplosmethode zien die voor alle kwadratische vergelijkingen werkt. Die oplosmethode is meer werk en daarom is het goed om altijd eerst te kijken of een kwadratische vergelijking met ontbinden in factoren opgelost kan worden.

Los #x# op met behulp van ontbinding in factoren in de vergelijking
\[x^2+12\cdot x+27=0\tiny\]
Geef je eindantwoord in de vorm #x=a\lor x=b#, waarbij #a# en #b# zijn getallen.

#x = -3 \lor x = -9#

\[\begin{array}{rcl}
x^2+12\cdot x+27&=&0 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{oorspronkelijke vergelijking}}\\
\left(x+3\right)\cdot \left(x+9\right)&=&0 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{linker lid ontbonden in factoren}}\\
x+3=0& \lor& x+9=0 \\ &&\phantom{xxx}\blue{A\cdot B=0 \text{ dan en slechts dan als }A=0\lor B=0}\\
x = -3 &\lor& x = -9 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{constante ter‍men naar rechts gebracht}}\\
\end{array}\]

Nieuw voorbeeld