We hebben gezien dat quotiëntfuncties in één of meerdere punten niet gedefinieerd kunnen zijn. Met behulp van limieten kunnen we toch kijken wat er in die punten gebeurd.
De limiet in een punt #x=\green a# van een functie #\blue{f(x)}# is de waarde waar de functie steeds dichter bij komt als we dichterbij #\green a# komen. We hoeven de waarde nooit te bereiken, maar elke keer als we dichterbij #\green a# komen, komen we dichter bij de waarde.
De limiet van #x# naar een punt #\green a# van een functie #\blue{f(x)}# noteren we als #\lim_{x \to \green a}\blue{f(x)}#.
Het kan voor de limiet waarde uitmaken of we van boven of van beneden het punt #\green a# naderen. Daarom onderscheiden we ook de rechter limiet en de linker limiet.
De rechter limiet is als we #x=\green a# van boven naderen. Dit betekent dus dat we vanaf een waarde groter dan #\green a# steeds dichter naar #\green a # gaan. We noteren dit als #\lim_{x \downarrow \green a}\blue{f(x)}#.
De linker limiet is als we #x=\green a# van beneden naderen. Dit betekent dus dat we vanaf een waarde kleiner dan #\green a# steeds dichter naar #\green a # gaan. We noteren dit als #\lim_{x \uparrow \green a}\blue{f(x)}#.
Wanneer de linker en rechter limiet in een punt #x= \green a# gelijk zijn, dan spreken we van de limiet in#x=\green a#.
Voorbeelden
\[\begin{array}{rcl} \lim\limits_{x \to \green2}\blue{\frac{x^2+x-6}{x-2}}&=& \lim\limits_{x \to \green2} {x+3}\\&=&5 \\ \\ \lim\limits_{x \downarrow \green1}\blue{\frac{1}{x-1}}&=&\infty \\ \\ \lim\limits_{x \uparrow \green1}\blue{\frac{1}{x-1}}&=&-\infty \\ \\ \lim\limits_{x \to \green{-5}}\blue{\frac{x^3-5x^2+5x-25}{x+5}}&=& \lim\limits_{x \to \green{-5}} {x^2+5}\\&=&30 \\ \\ \lim\limits_{x \downarrow \green2}\blue{\frac{1}{x^2-4}}&=&\infty \\ \\ \lim\limits_{x \uparrow \green2}\blue{\frac{1}{x^2-4}}&=&-\infty \end{array}\]
De limiet in een punt #x=\green a# is eenvoudig te berekenen als de functie gedefinieerd is in dit punt. De limiet is dan gelijk aan de functiewaarde van de functie in dat punt.
Als de functie niet gedefinieerd is in #x=\green a#, omdat de noemer gelijk is aan #0# in #x=\green a#, ligt het iets ingewikkelder.
Als teller en noemer beide #0# zijn in #x=\green a# is de limiet eenvoudig te bereken. In dat geval delen we teller en noemer beide door #x-\green a#. Op deze manier wordt de functie vereenvoudigd tot een uitdrukking waarin #x=\green a# gedefinieerd is. In dat geval is de limiet gelijk aan de waarde die de uitdrukking in deze functie aanneemt.
Als alleen de noemer #0# is in #x=\green a# is de limiet vaak #\pm\infty#. Zie het blokje "Oneindig".
Het kan ook zo zijn dat de functie niet gedefinieerd is om een andere reden. Deze gevallen bespreken we niet in deze cursus.
Voorbeeld
\[\begin{array}{rcl}\lim\limits_{x \to \green{-2}}\blue{\frac{x^2-2x+1}{x-4}}&=&\frac{(\green{-2})^2-2\cdot \green{-2}+1}{\green{-2}-4}\\&=&-\frac{3}{2} \\ \\ \lim\limits_{x \to \green4}\blue{\frac{x^2-6x+8}{x-4}}&=&\lim\limits_{x \to \green4}\blue{\frac{(x-2) \cdot (x-4)}{x-4}} \\ &=&\lim\limits_{x \to \green4} {x-2}\\&=&2 \\ \\ \lim\limits_{x \to \green{-3}}\blue{\frac{x^2+5x+6}{x+3}}&=&\lim\limits_{x \to \green{-3}}\blue{\frac{(x+2) \cdot (x+3)}{x+3}} \\ &=&\lim\limits_{x \to \green{-3}} {x+2}\\&=&-1 \end{array}\]
Wanneer in de buurt van het punt #x=\green a# de noemer naar #0# gaat en de teller niet of als de noemer sneller naar #0# gaat dan de teller, dan gaat de limiet naar oneindig of min oneindig.
Voorbeeld
\[\begin{array}{rcl} \lim\limits_{x \downarrow \green3}\blue{\frac{x}{x^2-9}}&=& \infty \end{array}\]
De limiet in een punt #x=\green a# van een functie #\blue{f(x)}# is de waarde waar de functie steeds dichter bij komt als we dichterbij #\green a# komen. We kunnen dit numeriek zien gebeuren.
Bekijk de functie #\blue{f(x)}=\blue{\frac{x^2-4}{x-2}}#. Deze functie is niet gedefinieerd in het punt #x=\green{2}#, maar #\lim_{x \to \green 2}\blue{\frac{x^2-4}{x-2}}=\lim_{x \to \green 2}\blue{ \left( x+2 \right)} = 4#. Dit betekent dat als we #x=\green 2# naderen we steeds dichterbij #4# komen. We zien dit numeriek in de onderstaande tabel.
| #x# |
#\blue{f(x)}# |
| #1# |
#3# |
| #1.5# |
#3.5# |
| #1.9# |
#3.899999\ldots# |
| #1.99# |
#3.989999\ldots# |
| #1.999# |
#3.998999\ldots# |
| #1.9999# |
#3.999900\ldots# |
| #1.99999# |
#3.999989\ldots# |
| #1.999999# |
#3.999998\ldots# |
We zien dat naarmate we #x=\green 2# dichter naderen, de waarde van #\blue{f(x)}# steeds dichter bij #4# komt te liggen.
In andere literatuur komen we misschien verschillende notaties tegen voor de rechter en linker limiet. De rechter limiet, die we schrijven als #\lim_{x\downarrow a}f(x)#, kan ook geschreven worden als \[\lim_{x\,\searrow\, a}f(x) \quad\text{of}\quad \lim_{x\to a^+}f(x).\] De linker limiet, die we schrijven als #\lim_{x\uparrow a}f(x)#, kan ook geschreven worden als \[\lim_{x\,\nearrow\, a}f(x) \quad\text{of}\quad \lim_{x\to a^-}f(x).\]
We kunnen ook bekijken wat er gebeurt als #x# heel groot of heel klein wordt. Dit is de limiet naar oneindig of min oneindig.
We kunnen ook de limiet van #x# naar #\green{\infty}# of #\green{-\infty}# van #\blue{f(x)}# nemen. In dat geval kijken we naar welke waarde #\blue{f(x)}# toegaat als we #x# steeds groter of steeds kleiner maken.
Dit noteren we als #\lim_{x \to \green{\infty}}\blue{f(x)}# voor de limiet van #x# naar #\green{\infty}# of als #\lim_{x \to \green{-\infty}}\blue{f(x)}# voor de limiet van #x# naar #\green{-\infty}#.
Voorbeelden
\[\begin{array}{rcl}\lim\limits_{x \to \green{\infty}} \blue{\frac{1}{x+1}}&=&0 \\ \\ \lim\limits_{x \to \green{-\infty}}\blue{\frac{x}{x^2+1}}&=&0 \end{array}\]
| |
Stappenplan
|
Voorbeeld
|
| |
We berekenen de limiet van een quotiëntfunctie #\blue{f(x)}=\blue{\frac{p(x)}{q(x)}}# naar #\green{ \pm\infty}#.
|
#\lim\limits_{x \to \green{-\infty}}\blue{\frac{-3x^2+1}{x+4}}#
|
| Stap 1 |
Haal de grootste macht van #x# die in de noemer voorkomt buiten haakjes in teller en noemer.
|
#\lim\limits_{x \to \green{-\infty}}\blue{\frac{x\cdot\left(-3x+\frac{1}{x}\right)}{x\cdot\left(1+\frac{4}{x}\right)}}#
|
| Stap 2 |
Deel teller en noemer door de factor die buiten haakjes is gehaald.
|
#\lim\limits_{x \to \green{-\infty}}\blue{\frac{-3x+\frac{1}{x}}{1+\frac{4}{x}}}#
|
| Stap 3 |
Bekijk of er in teller en noemer termen zijn van de vorm #\frac{a}{x^p}# met #a# een constante en #p\geq 1#. Deze gaan naar #0# als #x# naar #\pm \infty# gaat.
|
#\lim\limits_{x \to \green{-\infty}}{\frac{-3x}{1}}#
|
| Stap 4 |
Bepaal de limiet van wat je over houdt door te beredeneren wat er gebeurt als #x# naar #\pm \infty# gaat.
|
#\infty# |
Gegeven is de functie #f(x)=\frac{x^2-x-20}{x^2-13\cdot x+40}#. Bereken de limiet #\lim_{x\rightarrow \, 5 } f(x)# en vereenvoudig je antwoord. Als de limiet niet bestaat, vul dan "geen" in.
#\lim_{x\rightarrow \, 5 } \frac{x^2-x-20}{x^2-13\cdot x+40}= -3#
\[\begin{array}{rcl}
\displaystyle \lim_{x\rightarrow \, 5 } f(x) &=& \displaystyle\lim_{x\rightarrow \, 5 } \frac{x^2-x-20}{x^2-13\cdot x+40} \\
&& \qquad \blue{\text{de functie } f(x) \text{ ingevuld}}\\
&=& \displaystyle\lim_{x\rightarrow \, 5 } \frac{(x-5)\cdot(x+4)}{(x-5)\cdot(x-8)}\\
&& \qquad \blue{f(x) \text{ ontbonden in factoren}}\\
&=& \displaystyle\lim_{x\rightarrow \, 5 } \frac{(x+4)}{(x-8)}\\
&& \qquad \blue{\text{factor } x-5 \text{ weggedeeld}}\\
&=& \displaystyle \frac{(5+4)}{(5-8)}\\
&& \qquad \blue{\text{de quotientfunctie } \frac{(x+4)}{(x-8)} \text{ is gedefinieerd in het punt } x=5 \text{, dus dit punt ingevuld}}\\
&=& \displaystyle -3\\
&& \qquad \blue{\text{uitgerekend}}\\
\end{array}\]
Het begrip limiet
