De afgeleide van machtsfuncties

Differentiëren: De afgeleide van machtsfuncties

De afgeleide van machtsfuncties

In de praktijk willen we afgeleiden niet steeds opnieuw uitrekenen met behulp van de definitie van de afgeleide, maar gebruiken we rekenregels om direct de afgeleide te berekenen. We kijken nu eerst naar de afgeleide van een machtsfunctie.

Machtsregel

\[\dfrac{\dd}{\dd x}(x^\blue{n})=\blue{n}\cdot x^{\blue{n}-1}\]

Voorbeeld

\[\begin{array}{rcl} \dfrac{\dd}{\dd x}(x^\blue{5})&=&\blue{5}\cdot x^{\blue{5}-1}\\&=&\blue{5}x^4\end{array}\]

Afgeleide van de wortel
\[\dfrac{\dd}{\dd x}\sqrt{x}=\dfrac{\dd}{\dd x}x^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}
\]

Bewijs

Met de definitie voor de afgeleide vinden we voor een machtsfunctie #f(x)=x^n#:

\[f'(x)=\dfrac{(x+h)^n-x^n}{h}\]

Nu werken we de haakjes uit:

\[\dfrac{x^n+ n\cdot x^{n-1}\cdot h + \ldots n\cdot x\cdot h^{n-1}+h^n-x^n}{h}\]

De #x^n#-term valt weg:

\[\dfrac{n\cdot x^{n-1}\cdot h + \frac{n(n-1)}{2}\cdot x^{n-2}h^2 + \ldots + n\cdot x\cdot h^{n-1}+h^n}{h}\]

We kunnen dit zonder breuk schrijven:

\[n\cdot x^{n-1}+ \frac{n(n-1)}{2}\cdot x^{n-2}\cdot h + \ldots + n\cdot x\cdot h^{n-2}+h^{n-1}\]

Als we nu #h# naar nul laten gaan, blijft er maar één term over: de term zonder #h#. Dus de afgeleide van #f# is:

\[f'(x)=n\cdot x^{n-1}\]

Als we een machtsfunctie hebben met een constante ervoor, kunnen we deze constante eenvoudig naar buiten halen.

Machtsregel met een constante

\[\dfrac{\dd}{\dd x}(\orange{c}\cdot x^\blue{n})=\orange{c}\cdot\blue{n} \cdot x^{\blue{n}-1}\]

Voorbeeld

\[\begin{array}{rcl} \dfrac{\dd}{\dd x}(\orange{2}\cdot x^\blue{-3})&=&\orange{2}\cdot\blue{-3}\cdot x^{\blue{-3}-1}\\&=&-6x^{-4}\end{array}\]

Afgeleide van een constante

De afgeleide van een constante #\orange{c}# is gelijk aan #0#. Dit kunnen we aantonen met behulp van #1=x^0# en #\orange{c}=\orange{c}\cdot 1#, dit gaat als volgt

\[\frac{\dd}{\dd x}\orange{c}=\frac{\dd}{\dd x}(\orange{c}\cdot 1)=\frac{\dd}{\dd x}(\orange{c}\cdot x^0)=\orange{c}\cdot 0 \cdot x^{-1} = 0\]

Bereken #\frac{\dd f}{\dd x}# voor \(f(x) = {{9}\over{x^4}} \). Vereenvoudig je antwoord zo veel mogelijk en schrijf zonder negatieve exponenten.

#\frac{\dd f}{\dd x}=# #-{{36}\over{x^5}}#

\[\begin{array}{rcl}
\displaystyle \dfrac{\dd f}{\dd x}&=& \displaystyle \dfrac{\dd}{\dd x}\left( {{9}\over{x^4}} \right)\\
&&\phantom{xxx}\blue{f \text{ invullen}}\\

& =&\displaystyle\dfrac{\dd}{\dd x}\left( 9\cdot x^{-4} \right )\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{omschrijven naar de vorm }c\cdot x^n}\\
& =& \displaystyle 9 \cdot -4 \cdot x^{-5}\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{machtsregel met constante, }\dfrac{\dd}{\dd x}\left (c \cdot x^n\right)=c \cdot n \cdot x^{n-1}}\\
& =&\displaystyle -{{36}\over{x^5}}\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{vereenvoudigd}}
\end{array}\]

Nieuw voorbeeld