Eerder zagen we dat de eerste afgeleide van een functie ons vertelt wanneer de functie stijgend, stationair of dalend is. Als we echter denken aan de functies #f(x)=x# en #g(x)=x^2# voor #x>0#, zien we dat ze beide stijgen op verschillende manieren, met #y=x# op een lineaire manier en #y=x^2# omhoog buigend. Het onderscheid tussen deze twee gedragingen kan gemaakt worden met gebruik van de tweede afgeleide en de mate waarin de functie stijgt of daalt.
Een functie #\blue{f(x)}# wordt toenemend stijgend of afnemend dalend in een punt #x=\orange{c}# genoemd als #\purple{f''}(\orange{c})>0#.
Omgekeerd wordt #\blue{f(x)}# afnemend stijgend of toenemend dalend in een punt #x=\orange{c}# genoemd als #\purple{f''}(\orange{c})<0#.
Soms wordt toenemend stijgen en afnemend dalen ook wel convex genoemd, terwijl afnemend stijgen en toenemend dalen concaaf genoemd wordt. Voor deze cursus gebruiken we convex en concaaf enkel om functies in hun geheel te classificeren, zoals we hierna kunnen zien.
Voor een functie om omhoog te buigen in een punt, moet de helling van de raaklijn van de functie in dat punt stijgend zijn, wat betekent dat de eerste afgeleide stijgend is. De snelheid waarmee de eerste afgeleide verandert, wordt gegeven door de tweede afgeleide en dus impliceert een stijging in de eerste afgeleide dat de tweede afgeleide positief is, wat precies de definitie is van toenemend stijgen en afnemend dalen. Dit laatste voelt misschien wat tegenstrijdig, maar met afnemend dalen wordt bedoeld dat de helling minder negatief wordt, wat dus in feite een toename is (immers #-10<-1#), en dus past dit bij een positieve tweede afgeleide.
Voorbeeld
In de figuur hieronder staat de blauwe functie #\blue{f(x)}=\blue{x^2}# met in verschillende punten de raaklijn (#\orange{\text{oranje}}#) getekend. We zien dat de oranje lijnen op het afnemend dalende gedeelte steeds minder schuin lopen en dus steeds minder dalen en de helling dus toeneemt. Op het toenemend stijgende gedeelte zien we dat de oranje lijnen steeds schuiner gaan lopen. De afgeleide #\green{f'(x)}# is groen getekend, wat in elke punt overeen komt met de helling van de raaklijnen van #\blue{f(x)}#. De helling van de afgeleide is constant positief. Dus de tweede afgeleide is overal positief, wat overeenkomt met dat de grafiek afnemend dalend en toenemend stijgend is.
Wanneer de tweede afgeleide verdwijnt in een punt, #\purple{f''}(\orange{c})=0#, dan weten we dat de functie een buigpunt heeft in #x=\orange{c}#. We zullen dit op een latere pagina bespreken.
Merk op dat convex en concaaf kan optreden, ongeacht of een functie stijgend, dalend of stationair is.
In een punt #x=\orange{c}# is een functie
- toenemend stijgend (convex) als #\purple{f''}(\orange{c})>0# en #\green{f'}(\orange{c})>0#,
- toenemend (convex) en stationair als #\purple{f''}(\orange{c})>0# en #\green{f'}(\orange{c})=0#,
- afnemend dalend (convex) als #\purple{f''}(\orange{c})>0# en #\green{f'}(\orange{c})<0#.
Evenzo is in een punt #x=\orange{c}# een functie
- afnemend stijgend (concaaf) als #\purple{f''}(\orange{c})<0# en #\green{f'}(\orange{c})>0#,
- afnemend (concaaf) en stationair als #\purple{f''}(\orange{c})<0# en #\green{f'}(\orange{c})=0#,
- toenemend dalend (concaaf) als #\purple{f''}(\orange{c})<0# en #\green{f'}(\orange{c})<0#.
De functie #\blue{f(x)}=\blue{x^2}# heeft #\green{f'(x)}=\green{2x}# en #\purple{f''(x)}=\purple{2}#. Daarom is deze #\green{\text{afnemend dalend (convex)}}# voor #x<0#, #\orange{\text{toenemend stationair (convex)}}# voor #x=0# en #\blue{\text{toenemend stijgend (convex)}}# voor #x>0#.
De functie #\blue{f(x)}=\blue{-x^2}# heeft #\green{f'(x)}=\green{-2x}# en #\purple{f''(x)}=\purple{-2}#. Daarom is deze #\blue{\text{afnemend stijgend (concaaf)}}# voor #x<0#, #\orange{\text{afnemend stationair (concaaf)}}# voor #x=0# en #\green{\text{toenemend dalend (concaaf)}}# voor #x>0#.
Ten slotte kunnen we definiëren wat het betekent dat een functie concaaf of convex is.
Van een functie #\blue{f(x)}# wordt gezegd dat deze convex is als #\purple{f''(x)}\geq 0# voor alle #x# op zijn domein.
Van een functie #\blue{f(x)}# wordt gezegd dat deze concaaf is als #\purple{f''(x)}\leq 0# voor alle #x# op zijn domein.
Voorbeelden
#f(x)=e^x# is een convexe functie.
#f(x)=\ln(x)# is een concave functie.
#f(x)=\cos(x)# is noch concaaf noch convex.
Functies waarvan de tweede afgeleide constant en gelijk aan nul is, zijn lineaire functies. Deze functies buigen niet naar boven of naar beneden en zijn zowel convex als concaaf.
\[\begin{array}{rcl}
\blue{f(x)}&=&e^{x} \\
\green{f'(x)}&=&e^x\\ \purple{f''(x)}&=&e^x\end{array}\]
Aangezien #e^x>0# voor alle #x\in\mathbb{R}# geldt, volgt hieruit dat #\blue{f(x)}=e^ x# een convexe functie is.
\[\begin{array}{rcl}
\blue{f(x)}&=&\ln\left(x\right)\\
\green{f'(x)}&=&\frac{1}{x}\\ \purple{f''(x)}&=&-\frac{1}{x^ 2}\end{array}\]
Aangezien #-\frac{1}{x^ 2}<0# voor alle #x>0# geldt, volgt hieruit dat #\blue{f(x)}=\ln\left(x\right)# een concave functie is.
\[\begin{array}{rcl}
\blue{f(x)}&=&\cos\left(x\right)\\
\green{f'(x)}&=&-\sin\left(x\right) \\ \purple{f''(x)}&=&-\cos\left(x\right)\end{array}\]
Aangezien #-\cos\left(x\right)# een oneindig aantal keren van teken verandert, volgt hieruit dat #\blue{f(x)}=\cos\left(x\right)# noch een concave, noch een convexe functie is.
Hier zien we de functie \[f(x)=\sin\left(\frac{1}{2}\pi\cdot x\right)+1\] Deze functie is
- #\green{\text{afnemend stijgend (concaaf)}}# tussen #0# en #1# (gestreepte deel)
- #\orange{\text{toenemend dalend (concaaf)}}# tussen #1# en #2# (gestippelde deel)
- #\purple{\text{afnemend dalend (convex)}}# tussen #2# en #3# (doorgetrokken deel)
- #\blue{\text{toenemend stijgend (convex)}}# tussen #3# en #4# (lang-kort gestreepte deel)
De functie #f(x)=-x^3+3\cdot x^2+x+9# is in het punt #x=-3#
Om te bepalen wat voor soort stijging een functie in een punt heeft bepalen we de waarde van de eerste en tweede afgeleide in dat punt.
Eerst bepalen we de eerste afgeleide met behulp van de machtsregel. Dat geeft:
\[f'(x)=-3\cdot x^2+6\cdot x+1\]
Nu substitueren we #x=-3# in #f'#. Dat geeft:
\[f'(-3)=-3\cdot -3^2+6\cdot -3+1=-44\]
Vervolgens bepalen we de tweede afgeleide door #f'# opnieuw te differentiëren met behulp van de machtsregel. Dat geeft:
\[f''(x)=6-6\cdot x\]
Nu substitueren we #x=-3# in #f''#. Dat geeft:
\[f'' (-3)=6-6\cdot -3=24\]
Omdat er geldt #f'(-3) \lt 0# en #f''(-3) \gt 0# is #f(x)# in het punt #x=-3# afnemend dalend.
Hieronder staat de grafiek van #f# getekend met rood gekleurd het punt met #x=-3#. We zien dat de stijging inderdaad afnemend dalend is.