Hoofdstuk 13 Integreren *: Primitieve functe *
Primitives of some known functions
I tabellene nedenfor er de primitiver i et antall kjente funksjoner av #x# er gitt.
Bevisene er enkel: den deriverte av det primitive funksjon i den høyre kolonnen i funksjon gitt i kolonnen til venstre. Dette følger av
- makt regel for differensiering voor #x^a# ,
- logaritmisk regel for differensiering voor #\dfrac{1}{x}# ,
- logaritmisk regel for differensiering , den summen og produktet regel for differensiering for #\ln(x)# ,
- eksponensiell regel for differensiering f eller #{\e}^x# ,
- trigonometriske regler for differentiati på for #\sin(x)# og #\cos(x)# ,
- trigonometrische regler for differensiering og quotientrule f eller #\sec^2(x)# og #\csc^2(x)# ,
- derivater av inverse trigonometriske funksjoner for differensiering av #\dfrac{1}{x^2+1}# og #\dfrac{\pm1}{\sqrt{1-x^2}}# , og
- kvotient rulel , den kjerneregelen , og logaritmisk regel for differensiering for #\tan(x)# .
Som et eksempel, behandler vi det siste eksemplet i større detalj:
\[ \begin{array}{rclcl} \frac{\dd}{{\dd}x}\left(\ln(\sec(x))\right) &=& (\ln)'(\sec(x))\frac{\dd}{{\dd}x}(\sec(x))&\phantom{x}&\color{blue}{\text{chain rule}}\\ &=& \frac{1}{\sec(x)}\frac{\dd}{{\dd}x}(\sec(x))&\phantom{x}&\color{blue}{\text{logarithmic rule}}\\ &=&\cos(x)\frac{\dd}{{\dd}x}\left(\frac{1}{\cos(x)}\right)&\phantom{x}&\color{blue}{\text{definition }\sec}\\ &=&{\cos(x)}\frac{\sin(x)}{\cos^2(x)}&\phantom{x}&\color{blue}{\text{ quotient rule}}\\ &=&\tan(x)&\phantom{x}&\tiny. \end{array} \]
Bare den første til funksjoner og deres primitiv funksjon er uten trigonometriske funksjoner .
| funksjon | antideriverte | funksjon | antideriverte | |
| #x^a# #(a\ne -1)# | #\dfrac{1}{a+1}x^{a+1}# | #\phantom{distance}# | #\cos(x)# | #\sin(x)# |
| #\dfrac{1}{x}# | #\ln(x)# | #\sin(x)# | #-\cos(x)# | |
| #\e^x# | #\e^x# | #\tan(x)# | #\ln(\sec(x))# | |
| #\ln(x)# | #x\ln(x) - x# | #\frac{1}{\tan(x)}# | #\ln(\sin(x))# |
| funksjon | antideriverte | #\phantom{distance}# | funksjon | antideriverte |
| #{\sec^2(x)}# | #\tan(x)# | #\dfrac{1}{x^2+1}# | #\arctan(x)# | |
| #\csc^2(x)# | #-\frac{1}{\tan(x)}# | #\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}# | #\arcsin(x)# | |
| #\sec(x)# | #\ln(\tan(x)+\sec(x))# | #\dfrac{-1}{\sqrt{1-x^2}}# | #\arccos(x)# |
Foruten primitiver av disse viktige funksjoner, har vi regler som gjør det mulig for oss å beregne primitiver av mer kompliserte funksjoner. Den enkleste regelen blant disse er den nedenfor.
Sum regelen for integrasjon
La #a# og #b# være reelle tall og la #f# og #g# være funksjoner. Hvis #F# er en primitiv av #f# og #G# er en primitieve av #g# , så #a\cdot F+b\cdot G# er en primitiv av #a\cdot f+b\cdot g# .
Denne regelen er en direkte konsekvens av den sum regel for differensiering : #(a\cdot F+b\cdot G)' = a\cdot F'+b\cdot G'=af+bg# , slik at den deriverte av #a\cdot F+b\cdot G# er lik #a\cdot f+b\cdot g# . Med andre ord: #a\cdot F+b\cdot G# er en primitiv av #a\cdot f+b\cdot g# .
Selv #\int a\cdot f(x)+b\cdot g(x){\dd}x# er fucntional regel for mer enn én funksjon, vi skriver ofte #\int a\cdot f(x)+b\cdot g(x){\dd}x = a\cdot \int f(x){\dd}x + b \cdot \int g(x){\dd}x# .
This is easily verified: #\frac{\dd}{{\dd}x} \left(3\cdot \ln \left(x\right)+3\cdot x^5+3\cdot x + C\right) =\frac{3}{x}+5\cdot 3 x^{5-1} +3 =f(x)#.
We also describe how to antidifferentiate #f#: An antiderivative of #\frac{3}{x}+15 x^{4}+3# can be computed by adding antiderivatives of the terms #\frac{3}{x}#, #15 x^{4}#, and #3#. By the theory, #\int \frac{1}{x}{\dd}x =\ln(x) + C# and #\int x^{a}{\dd}x =\frac{1}{a+1} x^{a+1} + C# for every #a\ne -1#. Note that #C# is not a specific number. It just reminds us that the answer is determined up to a constant, when adding different antiderivatives with "#+C#", we will just copy the expression "#+C#", rather than adding specific values in the guise of #C_1+C_2#.
In particular, by the sum rule for antidifferentiation, \[\begin{array}{crl} \int f(x) {\dd}x &=&\int \left(\frac{3}{x}+15 x^{4}+3\right){\dd}x =\int \frac{3}{x}{\dd}x+\int 15 x^{4}{\dd}x+\int{3}{\dd}x\\ &=&3\cdot \ln \left(x\right)+3\cdot x^5+3\cdot x + C\tiny.\end{array}\]
Or visit omptest.org if jou are taking an OMPT exam.
