Integreren: De bepaalde integraal
Oppervlakte
De oppervlakte van het vlakdeel #\orange S# (we gebruiken #\orange S# wegens het Engelse woord "surface") dat boven de #x#-as ligt en wordt ingesloten door de grafiek van #\blue{f}#, de lijnen #x=a# en #x=b# is gelijk aan
\[\int_a^b \blue f(x) \; \dd x\]
We hebben nu gezien hoe we de oppervlakte van een vlakdeel boven de #x#-as berekenen, maar we kunnen op soortgelijke wijze ook een vlakdeel onder de #x#-as berekenen.
De oppervlakte van het vlakdeel #\orange S# dat onder de #x#-as ligt en wordt ingesloten door de grafiek van #\blue{f}#, de lijnen #x=a# en #x=b# is gelijk aan:
\[-\int_a^b \blue f(x) \; \dd x\]
Tot slot zullen we een stappenplan geven hoe we van een grafiek de oppervlakte kunnen geven die ingesloten wordt door de grafiek van #\blue f#, de #x#-as en door de lijnen #x=a# en #x=b#. Hierbij kan de oppervlakte gedeeltelijk boven de grafiek en gedeeltelijk onder de grafiek liggen.
Stappenplan |
Voorbeeld |
|
Bepaal de oppervlakte van een gebied ingesloten door de grafiek #\blue f#, de #x#-as en de lijnen #x=a# en #x=b#. |
Het gebied ingesloten door #\blue f(x)=-(x-3)^2+4#, de #x#-as en #x=0# en #x=6# |
|
Stap 1 |
Bepaal de nulpunten van de grafiek van #\blue f# tussen #x=a# en #x=b#. We noemen de nulpunten #x_1#, #x_2#, #\ldots#, #x_n# als er #n# nulpunten zijn. |
#x_1=1#, #x_2=5# |
Stap 2 | Bepaal voor elk interval #\ivco{a}{x_1}#, #\ivoo{x_1}{x_2}#, #\ldots#, #\ivoc{x_n}{ b}# of de #y#-waarden van #f# positief of negatief zijn. |
\[f(x)\begin{cases}\lt0&\text{als } x \text{ in } \ivco{0}{1}\\ |
Stap 3 |
De oppervlakte van het gebied is gelijk aan: \[\pm \int_a^{x_1} \blue f(x) \; \dd x \pm \int_{x_1}^{x_2} \blue f (x)\; \dd x \pm \ldots \pm \int_{x_n}^{b} \blue f (x)\; \dd x \] Hierbij staat er een plusteken voor de integraal als #f# positief is op dat gebied en een minteken als #f# negatief is. |
\[\begin{array}{c}-\int_{0}^{1} (x-3)^2+4 \; \dd x \\ + \int_{1}^{5} (x-3)^2+4 \; \dd x \\ - \int_{5}^6 (x-3)^2+4 \; \dd x\end{array}\] |
Stap 4 |
Bereken de bepaalde integralen en bepaal zo de oppervlakte. |
#\frac{46}{3}# |
Bereken de oppervlakte van het ingesloten gebied.
Geef je antwoord als onvereenvoudigbare breuk.
Stap 1 | Het enige nulpunt van #f(x)=x^2+x-12# tussen #x=-4# en #x=9# is #x_1=3#. Het andere nulpunt van het polynoom is #x=-4#, maar dit maakt niet uit voor de berekening. |
Stap 2 | Voor #[-4,3)# is #f(x)# negatief, voor #[3,9)# is #f(x)# positief. |
Stap 3 | De oppervlakte van het gebied is gelijk aan \[-\int_{-4}^{3} f(x) \, \dd x+ \int_{3}^{9}f(x) \, \dd x\] |
Stap 4 | We berekenen de bepaalde integralen. \[\begin{array}{rcl}\displaystyle \int_{-4}^{3} x^2+x-12 \, \dd x &=&\displaystyle\left[{{x^3}\over{3}}+{{x^2}\over{2}}-12\cdot x\right]_{-4}^{3}\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{definitie bepaalde integraal}}\\ &=&\displaystyle -{{45}\over{2}} - {{104}\over{3}}\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{grenzen ingevuld en vereenvoudigd}}\\ &=&\displaystyle -{{343}\over{6}}\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{vereenvoudigd}} \end{array}\] \[\begin{array}{rcl}\displaystyle \int_{3}^{9} x^2+x-12 \, \dd x &=&\displaystyle\left[{{x^3}\over{3}}+{{x^2}\over{2}}-12\cdot x\right]_{3}^{9}\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{definitie bepaalde integraal}}\\ &=&\displaystyle {{351}\over{2}} +{{45}\over{2}}\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{grenzen ingevuld en vereenvoudigd}}\\ &=&\displaystyle 198\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{vereenvoudigd}} \end{array}\] We vullen dit in en vinden de gezochte oppervlakte \[\begin{array}{rcl}\displaystyle -\int_{-4}^{3} f(x) \, \dd x+ \int_{3}^{9}f(x) \, \dd x&=&\displaystyle -(-{{343}\over{6}})+198\\&=&\displaystyle \frac{1531}{6} \end{array}\] |
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.