Integreren: De bepaalde integraal
Oppervlakte van een vlakdeel tussen grafieken
De oppervlakte van een vlakdeel #\orange S# dat wordt ingesloten door de lijnen #x=a# en #x=b# en de grafieken van de functies #\blue f# en #\green g# met #\blue f(x) \geq \green g(x)# op het interval #\ivcc{a}{b}# is gelijk aan
\[\begin{array}{c} \displaystyle \int_a^b \blue f(x)- \green g(x) \; \dd x \end{array} \]
Net als bij het berekenen van oppervlakte tussen grafieken en de #x#-as kan het ook wisselend zijn welke grafiek boven ligt. Daarvoor gebruiken we opnieuw het minteken om te corrigeren.
Stappenplan |
Voorbeeld |
|
Bepaal de oppervlakte van een gebied ingesloten door de grafiek #\blue f# en de grafiek #\green g#, de #x#-as en de lijnen #x=a# en #x=b#. |
Het gebied ingesloten door #\blue f(x)=x^3+x#, #\green g(x)=x+1# en #x=0# en #x=2# |
|
Stap 1 |
Bepaal de #x#-waarden van de snijpunten van de grafiek #\blue f# en #\green g# door de vergelijking #\blue f(x)=\green g(x)# op te lossen. We noemen de snijpunten #x_1#, #x_2#, #\ldots#, #x_n# als er #n# snijpunten zijn. |
#x_1=1# |
Stap 2 | Bepaal voor elk interval #\ivco{a}{x_1}#, #\ivoo{x_1}{x_2}#, #\ldots#, #\ivoc{x_n}{ b}# of de #y#-waarden van #\blue f# groter of kleiner zijn dan #\green g#. |
\[\blue f(x)\begin{cases}\lt \green g(x)&\text{als } x\in \ivco{0}{1}\\ |
Stap 3 |
De oppervlakte van het gebied is gelijk aan: \[\pm \int_a^{x_1} \blue f - \green g\; \dd x \pm \int_{x_1}^{x_2} \blue f - \green g \; \dd x \pm \ldots \pm \int_{x_n}^{b} \blue f - \green g\; \dd x \] Hierbij staat er een plusteken voor de integraal als #\blue f \gt \green g# op dat gebied en een minteken als #\blue f \lt \green g#. |
\[\begin{array}{c}-\int_{0}^{1} x^3+x-(x+1)\; \dd x \\ + \int_{1}^2 x^3+x-(x+1)\; \dd x \end{array}\] |
Stap 4 |
Bereken de bepaalde integralen en bepaal zo de oppervlakte. |
#\frac{7}{2}# |
Bereken de oppervlakte van het ingesloten gebied.
We bepalen eerst het gebied waarvan het oppervlakte berekend moet worden. Het wordt ingesloten door de twee snijpunten van #f(x)# en #g(x)#. Met eenvoudig rekenen vinden we #x=2# en #x=5#. Binnen het interval is de waarde van #f(x) # groter dan of gelijk aan de waarde van #g(x)#. We berekenen de oppervlakte nu als volgt.
\[\begin{array}{rcl}\displaystyle
\int_{2}^{5} \left(f(x)-g(x)\right){\dd}x&=&\displaystyle \int_{2}^{5} \left(-3\cdot x^2+21\cdot x-30\right){\dd}x\\
&& \displaystyle\phantom{xxx}\blue{f(x) \text{ en } g(x) \text{ ingevuld}}\\
&=&\displaystyle \left[{{-2\cdot x^3+21\cdot x^2-60\cdot x}\over{2}}\right]_{2}^{5}\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{definitie bepaalde integraal}}\\
&=&\displaystyle {{-2\cdot 5^3+21\cdot 5^2-60\cdot 5}\over{2}}-{{-2\cdot 2^3+21\cdot 2^2-60\cdot 2}\over{2}}\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{grenzen ingevuld}}\\
&=& \displaystyle {{27}\over{2}}\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{vereenvoudigd}}
\end{array}\]
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.