Integreren: Integratietechnieken
Partiële integratie
We hebben al gezien hoe we de op de kettingregel gebaseerde substitutiemethode voor integreren kunnen gebruiken. Nu zullen we kijken naar een methode om te integreren gebaseerd op de productregel.
Partiële integratie
We kunnen voor twee functies #\blue{g(x)}# en #\orange{h(x)}# partiële integratie toepassen:
\[
f(x) = \blue {g(x)} \cdot \green{h'(x)}\]
geeft
\[\begin{array}{rcl}\displaystyle \int f(x) \; \dd x&=&\displaystyle\int \blue {g(x)} \cdot \green{h'(x)} \dd x \\ &=&\blue{g(x)} \cdot \orange{h(x)} - \displaystyle \int \purple{g'(x)} \cdot \orange{h(x)} \; \dd x
\end{array}\]
Voorbeeld
#\begin{array}{rcl}&&\displaystyle \int x \e^{2x} \; \dd x \\ &=&\displaystyle\int \blue {x} \cdot \green{\e^{2x}} \dd x \\ &=&\blue{x} \cdot \orange{\dfrac{1}{2}\e^{2x}} - \displaystyle \int \purple{1} \cdot \orange{\frac{1}{2}\e^{2x}} \; \dd x\end{array}#
Stappenplan partiële integratie
Stappenplan | Voorbeeld | |
Bepaal #\displaystyle \int f(x) \; \dd x# met behulp van partiële integratie. |
Bepaal #\displaystyle \int x \e^{2x} \dd x# | |
Stap 1 |
Bepaal #\blue{g(x)}# en #\green{h'(x)}# zodanig dat #f(x)=\blue {g(x)} \cdot \green{h'(x)}#. |
#\blue{g(x)}=x# #\green{h'(x)}=\e^{2x}# |
Stap 2 |
Bepaal #\purple{g'(x)}# en #\orange{h(x)}#. |
#\purple{g'(x)}=1# #\orange{h(x)}=\frac{1}{2} \e^{2x}# |
Stap 3 |
Bereken #\int f(x) \; \dd x# met: \[\begin{array}{rcl}\displaystyle \int f(x) \; \dd x&=&\displaystyle\int \blue {g(x)} \cdot \green{h'(x)} \dd x \\ &=&\blue{g(x)} \cdot \orange{h(x)} - \displaystyle \int \purple{g'(x)} \cdot \orange{h(x)} \; \dd x \end{array}\] |
\[\blue{x} \cdot \orange{\frac{1}{2} \e^{2x}} - \displaystyle \int \purple{1} \cdot \orange{\frac{1}{2} \e^{2x}} \; \dd x \] |
Stap 4 |
Bepaal #\int \purple{g'(x)} \cdot \orange{h(x)} \; \dd x#. |
#\displaystyle \int \purple{1} \cdot \orange{\frac{1}{2} \e^{2x}} \; \dd x= \frac{1}{4}\e^{2x}+C_1# |
Stap 5 |
Bepaal het eindantwoord door stap 4 in stap 3 in te vullen. |
# \frac{1}{2} x \cdot \e^{2x}-\frac{1}{4} \e^{2x}+C# |
Stap 1 | We zoeken #g(x)# en #h'(x)#, zodat #x\cdot \e^{4\cdot x}=g(x) \cdot h'(x)#. In dit geval kiezen we #g(x)=x# en #h'(x)=\e^{4\cdot x}#. |
Stap 2 | Nu berekenen we #g'(x)# en #h(x)#. #g'(x)=1# #h(x)={{\e^{4\cdot x}}\over{4}}# |
Stap 3 | Volgens de rekenregel voor partiële integratie geldt nu: \[\int g(x) \cdot h'(x) \; \dd x=g(x) \cdot h(x) - \int g'(x) \cdot h(x) \; \dd x\] Dat geeft: \[\int x\cdot \e^{4\cdot x} \,\dd x=x \cdot {{\e^{4\cdot x}}\over{4}} - \int 1 \cdot {{\e^{4\cdot x}}\over{4}} \; \dd x\] |
Stap 4 | Nu berekenen we: #\int 1 \cdot {{\e^{4\cdot x}}\over{4}} \; \dd x# \[\int 1 \cdot {{\e^{4\cdot x}}\over{4}} \; \dd x={{\e^{4\cdot x}}\over{16}}+C_1\] |
Stap 5 | Nu voegen we stap 4 in stap 3 in. Dat geeft: \[\int x\cdot \e^{4\cdot x} \,\dd x={{x\cdot \e^{4\cdot x}}\over{4}}-{{\e^{4\cdot x}}\over{16}} + C\] |
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.