Integreren: Integratietechnieken
Herhaald partieel integreren
We hebben gezien hoe we bij partiële integratie het berekenen van de primitieve van #f(x)\cdot g'(x)# verleggen naar het primitiveren van #f'(x)\cdot g(x)#. Ook het primitiveren van #f'(x)\cdot g(x)# kan gebeuren door partiële integratie. We noemen dit het herhaald partieel integreren. We zullen nu twee situaties bekijken waarin herhaald partieel integreren resultaat oplevert. Allereerst bekijken we de situatie dat we door opnieuw partieel te integreren direct de oplossing vinden. Hierbij kunnen we ook meer dan twee keer moeten partieel integreren.
Stappenplan herhaald partieel integreren
Stappenplan | Voorbeeld | |
Bepaal #\displaystyle \int f(x) \; \dd x# met behulp van herhaald partieel integreren. |
Bepaal #\displaystyle \int x^2 \e^{2x} \dd x# | |
Stap 1 |
Bepaal #\blue{g(x)}# en #\green{h'(x)}# zodanig dat #f(x)=\blue {g(x)} \cdot \green{h'(x)}#. |
#\blue{g(x)}=x^2# #\green{h'(x)}=\e^{2x}# |
Stap 2 |
Bepaal #\purple{g'(x)}# en #\orange{h(x)}#. |
#\purple{g'(x)}=2x# #\orange{h(x)}=\frac{1}{2} \e^{2x}# |
Stap 3 |
Bereken #\int f(x) \; \dd x# met: \[\begin{array}{rcl}\displaystyle \int f(x) \; \dd x&=&\displaystyle\int \blue {g(x)} \cdot \green{h'(x)} \dd x \\ &=&\blue{g(x)} \cdot \orange{h(x)} - \displaystyle \int \purple{g'(x)} \cdot \orange{h(x)} \; \dd x \end{array}\] |
\[\blue{x^2} \cdot \orange{\frac{1}{2} \e^{2x}} - \displaystyle \int \purple{2x} \cdot \orange{\frac{1}{2} \e^{2x}} \; \dd x \] |
Stap 4 |
Bepaal #\int \purple{g'(x)} \cdot \orange{h(x)} \; \dd x# opnieuw met partiele integratie. |
#\displaystyle \int \purple{2x} \cdot \orange{\frac{1}{2} \e^{2x}} \; \dd x= 2x \cdot \frac{1}{4} \e^{2x}-\frac{1}{4} \e^{2x}# |
Stap 5 |
Bepaal het eindantwoord door stap 4 in stap 3 in te vullen. |
# \frac{1}{2}x^2 \cdot \e^{2x}- \frac{1}{2} x \cdot \e^{2x}+\frac{1}{4} \e^{2x}+C# |
We zullen nu kijken naar de situatie dat als we herhaald partieel integreren we uiteindelijk weer de oorspronkelijke integraal vinden. Vervolgens kunnen we met behulp van herleiding de oorspronkelijke integraal bepalen.
Herhaald partieel integreren met herleiding
Stappenplan | Voorbeeld | |
Bepaal #\displaystyle \int f(x) \; \dd x# met behulp van partiële integratie. |
Bepaal #\displaystyle \int e^x \cdot \cos(x) \dd x# | |
Stap 1 |
Bepaal #\blue{g(x)}# en #\green{h'(x)}# zodanig dat #f(x)=\blue {g(x)} \cdot \green{h'(x)}#. |
#\blue{g(x)}=\cos(x)# #\green{h'(x)}=\e^x# |
Stap 2 |
Bepaal #\purple{g'(x)}# en #\orange{h(x)}#. |
#\purple{g'(x)}=-\sin(x)# #\orange{h(x)}=\e^x# |
Stap 3 |
Bereken #\int f(x) \; \dd x# met: \[\begin{array}{rcl}\displaystyle \int f(x) \; \dd x&=&\displaystyle\int \blue {g(x)} \cdot \green{h'(x)} \dd x \\ &=&\blue{g(x)} \cdot \orange{h(x)} - \displaystyle \int \purple{g'(x)} \cdot \orange{h(x)} \; \dd x \end{array}\] |
\[\blue{\cos(x)} \cdot \orange{\e^x} - \displaystyle \int \purple{-\sin(x)} \cdot \orange{\e^x} \; \dd x \] |
Stap 4 |
Integreer #\int \purple{g'(x)} \cdot \orange{h(x)} \; \dd x# nogmaals partieel. |
#\begin{array}{rcl}&&\displaystyle \int \purple{-\sin(x)} \cdot \orange{\e^x} \; \dd x \\&=& -\sin(x) \cdot \e^x +\int \cos(x) \cdot \e^x \; \dd x\end{array}# |
Stap 5 |
Schrijf de vergelijking op die gevonden wordt door stap 3 en 4 samen te voegen met de oorspronkelijke vraag. |
#\begin{array}{rcl}&&\displaystyle \int e^x \cdot \cos(x) \dd x\\&=&\blue{\cos(x)} \cdot \orange{\e^x} +\sin(x) \cdot \e^x \\&-&\displaystyle\int \cos(x) \cdot \e^x \; \dd x\end{array}# |
Stap 6 |
Los de ontstane vergelijking op. |
#\begin{array}{rcl}&&\displaystyle \int e^x \cdot \cos(x) \dd x\\ &=&\frac{1}{2}\blue{\cos(x)} \cdot \orange{\e^x} +\frac{1}{2}\sin(x) \cdot \e^x \end{array}# |
Stap 1 | We zoeken #g(x)# en #h'(x)#, zodat #x^2\cdot \cos \left(9\cdot x\right)=g(x) \cdot h'(x)#. In dit geval kiezen we #g(x)=x^2# en #h'(x)=\cos \left(9\cdot x\right)#. |
Stap 2 | Nu berekenen we #g'(x)# en #h(x)#. #g'(x)=2\cdot x# #h(x)={{\sin \left(9\cdot x\right)}\over{9}}# |
Stap 3 | Volgens de rekenregel voor partiële integratie geldt nu: \[\int g(x) \cdot h'(x) \; \dd x=g(x) \cdot h(x) - \int g'(x) \cdot h(x) \; \dd x\] Dat geeft: \[\int x^2\cdot \cos \left(9\cdot x\right) \,\dd x=x^2 \cdot {{\sin \left(9\cdot x\right)}\over{9}} - \int 2\cdot x \cdot {{\sin \left(9\cdot x\right)}\over{9}} \; \dd x\] |
Stap 4 | Nu berekenen we: #\int 2\cdot x \cdot {{\sin \left(9\cdot x\right)}\over{9}} \; \dd x# opnieuw met partiële integratie. \[\begin{array}{rcl}\displaystyle \int 2\cdot x \cdot {{\sin \left(9\cdot x\right)}\over{9}} \; \dd x&=&\displaystyle 2\cdot x \cdot -{{\cos \left(9\cdot x\right)}\over{81}} - \int 2 \cdot -{{\cos \left(9\cdot x\right)}\over{81}} \\ && \phantom{xxx}\blue{\text{partiële integratie met }g(x)=2\cdot x \text{ en } h'(x)={{\sin \left(9\cdot x\right)}\over{9}}} \\ \displaystyle &=&\displaystyle -{{2\cdot x\cdot \cos \left(9\cdot x\right)}\over{81}} +{{2\cdot \sin \left(9\cdot x\right)}\over{729}} \\ && \phantom{xxx}\blue{\text{integraal berekend en vereenvoudigd}} \end{array}\] |
Stap 5 | Nu voegen we stap 4 in stap 3 in. Dat geeft: \[\begin{array}{rcl}\displaystyle \int x^2\cdot \cos \left(9\cdot x\right) \,\dd x&=&{{x^2\cdot \sin \left(9\cdot x\right)}\over{9}}-(-{{2\cdot x\cdot \cos \left(9\cdot x\right)}\over{81}} +{{2\cdot \sin \left(9\cdot x\right)}\over{729}}) + C\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{stap 4 in stap 3 ingevuld}} \\ &=&\displaystyle {{x^2\cdot \sin \left(9\cdot x\right)}\over{9}}+{{2\cdot x\cdot \cos \left(9\cdot x\right)}\over{81}} -{{2\cdot \sin \left(9\cdot x\right)}\over{729}}+C \\&& \phantom{xxx}\blue{\text{haakjes uitgewerkt}}\end{array}\] |
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.