We hebben net gezien hoe we functie van de vorm #f(x)=\frac{p(x)}{ax+b}# primitiveren. Nu zullen we gaan kijken hoe we functies van de vorm #f(x)=\frac{\blue{l \cdot x+m}}{\green{x^2+bx+c}}# primitiveren.
Bij deze functies ligt het primitiveren iets ingewikkelder en is het afhankelijk van de waarde van discriminant van de noemer. Wanneer de discriminant groter of gelijk aan #0# is, kunnen we breuksplitsen gebruiken om de integrand tot een som van eenvoudigere integranden te schrijven. Als de discriminant kleiner dan #0# is, kunnen we de substitutiemethode gebruiken door middel van kwadraatafsplitsen.
|
Stappenplan
|
Voorbeeld |
|
Bepaal #\displaystyle \int \frac{\blue{l \cdot x+m}}{\green{x^2+bx+c}} \; \dd x#.
|
#\displaystyle \int \frac{\blue{17x+11}}{\green{x^2-2x-3}} \; \dd x# |
Stap 1 |
Bepaal de discriminant van #\green{x^2+bx+c}# met behulp van:
\[D=b^2-4c\]
|
#D=(-2)^2-4 \cdot -3=16# |
Stap 2 |
Als #D \lt 0#, ga naar uitklapblok stappenplan 1.
Als #D=0#, ga naar uitklapblok stappenplan 2.
Als #D \gt 0#, ga naar uitklapblok stappenplan 3.
|
#D \gt 0#, ga naar stappenplan 3 |
|
Stappenplan 1
|
Voorbeeld |
|
Bepaal #\displaystyle \int \frac{l \cdot x+m}{x^2+\blue{b}x+c} \; \dd x# met #D \lt 0#.
|
#\displaystyle \int \frac{17x+11}{{x^2\blue{-2}x+3}} \; \dd x # |
Stap 3 |
Herschrijf de integraal tot:
\[\displaystyle \int \frac{\frac{l}{2}(2x+\blue{b})}{x^2+\blue{b}x+c} \; \dd x + \int \frac{k}{x^2+\blue{b}x+c} \; \dd x\]
Hierbij is #k# gelijk aan #m-\frac{\blue b \cdot l}{2}#, zodat #l \cdot x+m=\frac{l}{2}(2x+\blue{b})+k#.
|
#\begin{array}{rcl}&&\displaystyle \int \frac{\frac{17}{2}(2x\blue{-2})}{x^2\blue{-2}x+3} \; \dd x \\&+& \displaystyle \int \frac{28}{x^2\blue{-2}x+3} \; \dd x\end{array}# |
Stap 4 |
Bereken nu eerst #\displaystyle \int \frac{\frac{l}{2}(2x+\blue{b})}{x^2+\blue{b}x+c} \; \dd x # door te herschrijven tot
\[\displaystyle \frac{l}{2} \int \frac{1}{x^2+\blue{b}x+c} \; \dd (x^2+\blue{b}x+c)\]
|
#\displaystyle \frac{17}{2} \int \frac{1}{x^2\blue{-2}x+3} \; \dd (x^2\blue{-2}x+3)# |
Stap 5 |
Met behulp van de substitutiemethode berekenen we nu dat deze integraal gelijk is aan:
\[\frac{l}{2} \cdot \ln|x^2+\blue b+c|+\green{C_1}\]
|
#\frac{17}{2} \cdot \ln|x^2\blue{-2}x+3|+\green{C_1}# |
Stap 6 |
Bereken nu #\int \frac{k}{x^2+\blue{b}x+c} \; \dd x# door deze te herschrijven tot:
\[\int \frac{k}{(x-p)^2+q} \; \dd x\]
Hierbij zijn #p# en #q \gt 0# getallen, die we vinden door kwadraatafsplitsen.
|
#\int \frac{28}{(x-1)^2+2} \; \dd x# |
Stap 7 |
We willen nu de integraal herschrijven, zodat we na substitutie de integraal kunnen schrijven als #a \int \frac{1}{x^2+1}#. Daarvoor halen we eerst #q# in de noemer buiten haakjes:
\[\int \frac{k}{q\left(\frac{1}{q}\left(x-p\right)^2+1\right)} \; \dd x\]
|
#\int \frac{28}{2 \cdot \left(\frac{1}{2}\left(x-1\right)^2+1\right)} \; \dd x# |
Stap 8 |
Haal nu de constante voor de integraal. Dat geeft:
\[\frac{k}{q} \int \frac{1}{\frac{1}{q}\left(x-p\right)^2+1} \; \dd x\]
|
#\frac{28}{2} \int \frac{1}{\left(\frac{1}{2}\left(x-1\right)^2+1\right)} \; \dd x# |
Stap 9 |
Herschrijf door de factor voor het kwadraat binnen de haakjes te brengen. Dat geeft:
\[\frac{k}{q} \int \frac{1}{\left(\frac{x-p}{\sqrt{q}}\right)^2+1} \; \dd x\]
|
#\frac{28}{2} \int \frac{1}{\left(\frac{x-1}{\sqrt{2}}\right)^2+1} \; \dd x# |
Stap 10 |
Deze integraal kunnen we uitrekenen (met substitutie van #u=\tfrac{x-p}{\sqrt{q}}#). Dat geeft:
\[\frac{k}{q} \cdot \sqrt{q} \arctan(\frac{x-p}{\sqrt{q}}) +\green{C_2}\]
|
#14 \cdot \sqrt{2} \arctan(\frac{x-1}{\sqrt{2}})+\green{C_2}# |
Stap 11 |
Combineer nu de antwoorden uit stap 6 en stap 10 tot het eindantwoord van #\displaystyle \int \frac{l \cdot x+m}{x^2+\blue{b}x+c} \; \dd x#. Hierbij is maar één nieuwe integratieconstante #\green C# nodig.
|
#\begin{array}{rcl}&&\frac{17}{2} \cdot \ln|x^2\blue{-2}x+3|\\&+&14 \cdot \sqrt{2} \arctan(\frac{x-1}{\sqrt{2}})+\green{C} \end{array}# |
|
Stappenplan 2
|
Voorbeeld |
|
Bepaal #\displaystyle \int \frac{l \cdot x+m}{x^2+bx+c} \; \dd x# met #D = 0#.
|
#\displaystyle \int \frac{17x+11}{{x^2-2x+1}} \; \dd x # |
Stap 3 |
Herschrijf de noemer tot #(x+\blue p)^2# voor een getal #\blue p#. Dit kan doordat geldt #D=0#.
|
#(x-\blue{1})^2# |
Stap 4 |
Herschrijf #\frac{l \cdot x+m}{(x+\blue p)^2}# met behulp van breuksplitsen tot #\frac{A}{x+\blue p}+\frac{B}{(x+\blue p)^2}#.
|
#\frac{17x+11}{(x-\blue{1})^2}=\frac{17}{x-\blue1}+\frac{28}{(x-\blue1)^2}# |
Stap 5 |
Splits de integraal tot:
\[\displaystyle \int \frac{A}{(x+\blue p)} \; \dd x + \int \frac{B}{(x+\blue p)^2} \; \dd x \]
|
#\int \frac{17}{x-\blue1} \; \dd x + \int \frac{28}{(x-\blue1)^2} \; \dd x# |
Stap 6 |
Bereken #\int \frac{A}{(x+\blue p)} \; \dd x# als volgt:
\[\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \frac{A}{(x+\blue p)} \; \dd x &=& \displaystyle A \int \frac{1}{(x+\blue p)} \; \dd x \\ &=& A \ln|x+\blue p|+\green{C_1} \end{array}\]
|
#17 \ln|x-\blue1|+\green{C_1} # |
Stap 7 |
Bereken #\int \frac{B}{(x+\blue p)^2} \; \dd x # als volgt:
\[\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \frac{B}{(x+\blue p)^2} \; \dd x &=& \displaystyle \int B \cdot (x+\blue p)^{-2} \; \dd x \\ &=& -\frac{B}{x+\blue p}+\green{C_2} \end{array}\]
|
#-\frac{28}{x-\blue1}+\green{C_2}# |
Stap 8 |
Combineer nu de antwoorden uit stap 6 en stap 7 tot het eindantwoord van #\displaystyle \int \frac{l \cdot x+m}{x^2+b x+c} \; \dd x#. Hierbij is maar één nieuwe integratieconstante #\green C# nodig.
|
#17 \ln|x-\blue1|-\frac{28}{x-\blue1}+\green{C}# |
|
Stappenplan 3
|
Voorbeeld |
|
Bepaal #\displaystyle \int \frac{l \cdot x+m}{x^2+bx+c} \; \dd x# met #D \gt 0#.
|
#\displaystyle \int \frac{17x+11}{{x^2-2x-3}} \; \dd x # |
Stap 3 |
Herschrijf de noemer tot #(x+\blue p) \cdot (x+\orange q)# waarbij #\blue p# en #\orange q# getallen zijn.
|
#(x \blue{-3}) \cdot (x+\orange{1})# |
Stap 4 |
Gebruik breuksplitsen om #\frac{l \cdot x+m}{x^2+bx+c}# te herschrijven tot
\[\frac{A}{x+\blue p}+\frac{B}{x+\green q}\]
|
\[\frac{17x+11}{x^2-2x-3}= \frac{\frac{31}{2}}{x\blue{-3}}+\frac{\frac{3}{2}}{x+\orange1}\]
|
Stap 5 |
Herschrijf nu de integraal tot:
\[\int \frac{A}{x+\blue p} \; \dd x + \int \frac{B}{x+\orange q} \; \dd x\]
|
#\int \frac{\frac{3}{2}}{x\blue{-3}} \; \dd x + \int \frac{\frac{31}{2}}{x+\orange1} \; \dd x# |
Stap 6 |
Bepaal #\int \frac{A}{x+\blue p} \; \dd x#. Er geldt:
\[\int \frac{B}{x+\blue p} \; \dd x= A \cdot \ln|x+\blue p| +\green{C_1}\]
|
#\int \frac{\frac{31}{2}}{x\blue{-3}} \; \dd x=\frac{31}{2} \ln|x\blue{-3}|+\green{C_1}# |
Stap 7 |
Bepaal #\int \frac{B}{x+\orange q} \; \dd x#.
Er geldt:
\[\int \frac{A}{x+\orange q} \; \dd x= B \cdot \ln|x+\orange q| +\green{C_2}\]
|
#\int \frac{\frac{3}{2}}{x+\orange1} \; \dd x=\frac{3}{2} \ln|x+\orange{1}|+\green{C_2}# |
Stap 8 |
Combineer de antwoorden van stap 6 en 7 tot het eindantwoord van #\displaystyle \int \frac{l \cdot x+m}{x^2+bx+c} \; \dd x# met #D \gt 0#. Er is maar één integratieconstante #\green C# nodig. |
#\frac{31}{2} \ln|x\blue{-3}|+\frac{3}{2} \ln|x+\orange{1}|+\green{C} # |
Bepaal #\int {{-4\cdot x-5}\over{x^2+10\cdot x+25}} \,\dd x#.
Gebruik #C# voor de integratieconstante.
#\int {{-4\cdot x-5}\over{x^2+10\cdot x+25}} \,\dd x=# #-4\cdot \ln \left(\left| x+5\right| \right)-{{15}\over{x+5}}+C#
Omdat de integrand al een lineaire functie als teller van de quotiëntfunctie heeft en in de noemer #a=1#, kunnen we beginnen bij stap 4 van het stappenplan.
Stap 4 |
We berekenen de discriminant van de noemer van de quotiëntfunctie. \[\begin{array}{rcl}D&=&b^2-4 \cdot c \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{formule discriminant}} \\ &=& (10)^2-4 \cdot 25 \\ &&\phantom{xxx}\blue{b=10 \text{ en } c=25 \text{ ingevuld}} \\ &=& 0 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{uitgerekend}}\end{array}\] |
Stap 5 |
#D =0#, dus we gaan naar stappenplan 2. |
Stap 6 |
We herschrijven de noemer van de quotiëntfunctie. \[x^2+10\cdot x+25=\left(x+5\right)^2\] |
Stap 7 |
We herschrijven de integraal: \[\int {{-4\cdot x-5}\over{x^2+10\cdot x+25}} \; \dd x=\int \frac{-4 \cdot (x+5)+15}{\left(x+5\right)^2} \; \dd x\] |
Stap 8 |
We splitsen de integraal tot: \[\int \frac{-4 \cdot (x+5)}{\left(x+5\right)^2} \; \dd x + \int \frac{15}{\left(x+5\right)^2} \; \dd x\] |
Stap 9 |
We berekeken eerst #\int \frac{-4 \cdot (x+5)}{\left(x+5\right)^2} \; \dd x# als volgt: \[\begin{array}{rcl}\displaystyle \int \frac{-4 \cdot (x+5)}{\left(x+5\right)^2} \; \dd x&=& \displaystyle \int \frac{-4}{x+5} \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{teller en noemer gedeeld door }x+5} \\&=&-4\cdot \ln \left(\left| x+5\right| \right)+C_1 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{geprimitiveerd}} \end{array}\] |
Stap 10 |
\[\int \frac{15}{\left(x+5\right)^2} \; \dd x = -{{15}\over{x+5}}+C_2\] |
Stap 11 |
Dus: \[\int {{-4\cdot x-5}\over{x^2+10\cdot x+25}} \,\dd x=-4\cdot \ln \left(\left| x+5\right| \right)-{{15}\over{x+5}}+C\] |