Het inwendig product

Meetkunde: Parametervergelijkingen en vectoren

Het inwendig product

Eerder bespraken we vectoren en hoe je ze bij elkaar kunt optellen of vermenigvuldigen met een scalar. De volgende stap is het definiëren van het inwendig product, wat gezien kan worden als een manier om de ene vector met de andere te vermenigvuldigen.

Laat #\blue{\vec{x}} =\blue{\cv{x_1\\x_2}}# en #\green{\vec{y}}=\green{\cv{y_1\\y_2}}# twee vectoren zijn. We definiëren het inwendig product tussen #\blue{\vec{x}}# en #\green{\vec{y}}# als \[\dotprod{\blue{\vec{x}} }{ \green{\vec{y}}} = \blue{x_1}\cdot \green{y_1} + \blue{x_2}\cdot\green{y_2}\] Merk op dat het inwendig product tussen twee vectoren altijd een getal oplevert, geen vector.

Voorbeeld

Laat #\blue{\vec{x}} =\blue{\cv{1\\1}}# en #\green{\vec{y}}=\green{\cv{5\\0}}#. Dan #\dotprod{\blue{\vec{x}}}{ \green{\vec{y}}} = \blue{1}\cdot\green{5} + \blue{1}\cdot\green{0} = 5#.

Notaties
In andere literatuur vind je mogelijk andere manieren om het inwendig product tussen twee vectoren #\blue{\vec{x}}# en #\green{\vec{y}}# aan te duiden. Hieronder zetten we een aantal mogelijkheden op een rij.
\[\blue{\vec{x}} \cdot \green{\vec{y}}, \enspace \blue{\vec{x}} \bullet \green{\vec{y}}, \enspace (\blue{\vec{x}}, \green{\vec{y}}), \enspace \left<\blue{\vec{x}},\green{\vec{y}}\right> \] Het inwendig product kan ook het (standaard) inproduct of het scalaire product worden genoemd.

Eigenschappen
Laat #\blue{\vec{x}}#, #\green{\vec{y}}# en #\orange{\vec{z}}# vectoren zijn en laat #c# een getal zijn. De volgende eigenschappen gelden.

1. #\quad \dotprod{\blue{\vec{x}}}{\green{\vec{y}}} = \dotprod{\green{\vec{y}}}{\blue{\vec{x}}}#
2. #\quad \dotprod{\blue{\vec{x}}}{ (\green{\vec{y}} + \orange{\vec{z}})} = \dotprod{\blue{\vec{x}}}{\green{\vec{y}}} + \dotprod{\blue{\vec{x}}}{\orange{\vec{z}}}#
3. #\quad c \cdot (\dotprod{\blue{\vec{x}} }{ \green{\vec{y}}}) = \dotprod{(c\cdot \blue{\vec{x}}) }{ \green{\vec{y}}} = \dotprod{\blue{\vec{x}} }{ (c\cdot \green{\vec{y}})}#
4. #\quad \dotprod{\blue{\vec{x}} }{ \blue{\vec{x}}} = ||\blue{\vec{x}}||^2# waarbij #||\blue{\vec{x}}||# de lengte van #\blue{\vec{x}}# is.

Het inwendig product geeft aanleiding tot veel interessante toepassingen, het stelt ons bijvoorbeeld in staat om de hoek tussen twee vectoren te berekenen. Om deze hoek te berekenen hebben we een andere formule nodig.

Laat #\blue{\vec{x}} =\blue{\cv{x_1\\x_2}}# en #\green{\vec{y}}=\green{\cv{y_1\\y_2}}# vectoren zijn en laat #\phi# de kleinste hoek ertussen zijn. Dan \[\cos(\phi) = \frac{\dotprod{\blue{\vec{x}} }{ \green{\vec{y}}}}{||\blue{\vec{x}}|| \cdot ||\green{\vec{y}}||}\] waar #||\blue{\vec{x}}||# en #||\green{\vec{y}}||# respectievelijk voor de lengtes van vectoren #\blue{\vec{x}}# en #\green{\vec{y}}# staan.

Voorbeeld
Laat nog een keer #\blue{\vec{x}} =\blue{\cv{1\\1}}# en #\green{\vec{y}}=\green{\cv{5\\0}}#.

GeoGebra

\[\cos(\phi)= \frac{\dotprod{\blue{\vec{x}} }{ \green{\vec{y}}}}{||\blue{\vec{x}}|| \cdot ||\green{\vec{y}}||} = \frac{5}{\sqrt{2} \cdot 5} = \frac{1}{\sqrt{2}},\] wat betekent dat #\phi = \frac{\pi}{4}#.

Kleinste hoek
Merk op dat #\phi# de kleinste hoek is tussen de twee vectoren, wat betekent dat #0 \leq \phi \leq \pi#.

In veel toepassingen is het handig om te werken met vectoren die orthogonaal zijn.

Twee vectoren #\blue{\vec{x}}# en #\green{\vec{y}}# zijn orthogonaal, of loodrecht, als de kleinste hoek #\phi# daartussen #\frac{\pi}{2}# is.

Aangezien we weten dat #\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)=0#, geldt er dat #\blue{\vec{x}}# en #\green{\vec{y}}# orthogonaal zijn dan en slechts dan als #\dotprod{\blue{\vec{x}} }{ \green{\vec{y}}}=0#.

Voorbeeld
Laat #\blue{\vec{x}} =\blue{\cv{1\\2}}# en #\green{\vec{y}}=\green{\cv{2\\-1}}#. Er geldt dat #\dotprod{\blue{\vec{x}}}{ \green{\vec{y}}}=\blue{1}\cdot\green{2} + \blue{2} \cdot \green{-1} = 0# en inderdaad #\phi=\frac{\pi}{2}#.

GeoGebra

Normaalvector
Laat #\blue{\vec{x}}# en #\vec{n}# vectoren zijn die niet nul zijn. Als #\blue{\vec{x}}# en #\vec{n}# orthogonaal zijn, of met andere woorden: als #\dotprod{\blue{\vec{x}} }{ \vec{n}}=0#, zeggen we dat #\vec{n}# een normaalvector is voor #\blue{\vec{x}}#.

Als #\blue{\vec{x}} =\blue{\cv{x_1\\x_2}}#, dan is de vector #\vec{n}=\cv{-x_2\\x_1}# normaal voor #\blue{\vec{x}}# aangezien #\dotprod{\blue{\vec{x}} }{ \vec{n}}=\blue{x_1} \cdot -x_2 + \blue{x_2} \cdot x_1=0#. Merk op dat een normaalvector niet uniek is: de vector #\vec{m}=\cv{-3\cdot x_2\\3\cdot x_1}# is bijvoorbeeld ook een normaalvector voor #\blue{\vec{x}}#. In feite zijn alle niet-nul scalaire veelvouden van #\vec{n}=\cv{-x_2\\x_1}# normaalvectoren voor #\blue{\vec{x}}#.

Laat #\vec{x}=\cv{2\\1}# en #\vec{y}=\cv{-4\\4}#. Vind #\cos(\phi)#, waarbij #\phi# de kleinste hoek is tussen #\vec{x}# en #\vec{y}#.

#\cos(\phi)=-{{1}\over{\sqrt{2}\cdot \sqrt{5}}}#

We willen de formule #\cos(\phi)=\frac{\dotprod{\vec{x}}{ \vec{y}}}{||\vec{x}|| \cdot ||\vec{y}||}# gebruiken. Eerst berekenen we het inwendig product tussen #\vec{x}# en #\vec{y}#: \[\dotprod{\vec{x}}{\vec{y}} = 2 \cdot -4 + 1 \cdot 4 = -4\] Vervolgens vinden we de lengtes van vectoren #\vec{x}# en #\vec{y}#: \[||\vec{x}||= \sqrt{(2)^2 + (1)^2} = \sqrt{5} \quad \text{en} \quad ||\vec{y}||=\sqrt{(-4)^2 + (4)^2}=2^{{{5}\over{2}}}\] Wanneer we deze getallen invullen, krijgen we \[\cos(\phi)=\frac{\dotprod{\vec{x}}{ \vec{y}}}{||\vec{x}|| \cdot ||\vec{y}||}= \frac{-4}{\sqrt{5} \cdot 2^{{{5}\over{2}}}} = -{{1}\over{\sqrt{2}\cdot \sqrt{5}}}\]

Nieuw voorbeeld