Laat #W# een deelverzameling van een vectorruimte #V# zijn. Als we twee vectoren van #W# nemen, dan is hun som een vector van #V#, die niet noodzakelijk in #W# ligt. Als we willen dat #W# met de optelling van #V# weer een vectorruimte is, moeten we eisen dat die som in #W# in ligt. Een soortgelijke opmerking geldt voor de scalaire vermenigvuldiging van vectoren uit #W#.
Een niet-lege deelverzameling #W# van een vectorruimte #V# heet een
lineaire deelruimte van #V# als voor alle #\vec{p}#, #\vec{q}\in W# en alle scalairen #\lambda#, #\mu# geldt:
\[\lambda\cdot \vec{p} + \mu \cdot \vec{q} \in W\]
- Het kleinste voorbeeld is de deelverzameling #\{\vec{0}\}# van #V#, die enkel bestaat uit de nulvector. Deze lineaire deelruimte heet de triviale lineaire deelruimte van #V#.
- Het grootste voorbeeld is de deelverzameling #V# van #V#, die bestaat uit alle vectoren van #V#. Alle andere lineaire deelruimtes noemen we echt.
De reële getallen, #\mathbb{R}#, met de gebruikelijk optellingen en vermenigvuldiging, is een vectorruimte. De triviale deelruimte #\{\vec{0}\}# en de hele ruimte #\mathbb{R}# zijn de enige twee lineaire deelruimten van #\mathbb{R}#.
Elke lijn door de oorsprong in #\mathbb{R}^n#, dat wil zeggen: elke deelverzameling van de vorm #\left.\left\{\lambda \, \vec{v}\,\right| \,\lambda\in\mathbb{R} \right\}# voor een vaste niet-nul vector #\vec{v}#, is een lineaire deelruimte van #\mathbb{R}^n#. Als de lijn niet door de oorsprong gaat, is het geen lineaire deelruimte.
De eis dat #W# niet-leeg is, kan vervangen worden door de eis dat de nulvector #\vec{0}# van #V# tot #W# behoort. Het is immers zo dat,
- als #\vec{0}# tot #W# behoort, #W# niet leeg is, en
- als #W# een vector, zeg #\vec{w}#, bevat, het ook de tegengestelde #-\vec{w}# ervan bevat, dus ook de lineaire combinatie #\vec{w}+\left(-\vec{w}\right)=\vec{0}#.
Deze eenvoudige eigenschap kan vaak gebruikt worden om in te zien dat een deelverzameling #W# van #V# geen lineaire deelruimte is.
De eis dat een deelverzameling een lineaire deelruimte is, garandeert dat op die deelverzameling de structuur van een vectorruimte te vinden is.
Als #W# een lineaire deelruimte van #V# is, dan is #W# zelf, met de optelling en scalaire vermenigvuldiging van #V# ook een vectorruimte.
De deelverzameling #L = \left.\left\{\lambda \,\rv{1,0}\,\right| \,\lambda\in\mathbb{R} \right\}# van #\mathbb{R}^2# is een lineaire deelruimte van #\mathbb{R}^2#. Als we het punt #\rv{\lambda, 0}# van #L# met het getal #\lambda# van #\mathbb{R}# identificeren, dan is eenvoudig na te gaan dat de vectorruimte van de lineaire deelruimte #L# samenvalt met de vectorruimte #\mathbb{R}#.
Om dit in te zien moeten we de acht regels voor een vectorruimte nagaan voor #W#. Aan de regels die gaan over gelijkheden, is voldaan omdat de regels al in #V# gelden. Deze opmerking brengt de te controleren regels terug tot de regel over het bestaan van de nulvector en de regel over de tegengestelde vector van een vector #\vec{w}# in #W#.
Het bestaan van de nulvector is al besproken in de definitie van lineaire deelruimte.
Blijft over aan te tonen dat, als #\vec{w}# tot #W# behoort, dan ook #-\vec{w}#. Dit volgt uit het feit dat #-\vec{w}# gelijk is aan de lineaire combinatie #\vec{0}+(-1)\cdot\vec{w}# van #\vec{0}# en #\vec{w}#, die beide behoren tot #W#.
De oplossing van een homogeen stelsel lineaire vergelijkingen met #n# onbekenden is een lineaire deelruimte van #\mathbb{R}^n#:
Bekijk de volgende algemene vorm van een homogeen stelsel van \(m\) lineaire vergelijkingen met \(n\) onbekenden \(x_1, \ldots, x_n\): \[\left\{\;\begin{array}{rclllllll} a_{11}x_1 \!\!\!\!&+&\!\!\!\! a_{12}x_2 \!\!\!\!&+&\!\!\!\! \cdots \!\!\!\!&+&\!\!\!\! a_{1n}x_n\!\!\!\!&=&\!\!\!\!0\\ a_{21}x_1 \!\!\!\!&+&\!\!\!\! a_{22}x_2 \!\!&+&\!\! \!\!\cdots \!\!\!\!&+&\!\! a_{2n}x_n\!\!\!\!&=&\!\!\!\!0\\ \vdots &&\vdots &&&& \vdots&&\!\!\!\!\vdots\\ a_{m1}x_1 \!\!\!\!&+&\!\!\!\! a_{m2}x_2 \!\!\!\!&+&\!\!\!\! \cdots \!\!\!\!&+&\!\!\!\! a_{mn}x_n\!\!\!\!&=&\!\!\!\!0\end{array}\right.\] Hierbij zijn alle \(a_{ij}\) met \(1\le i\le m, 1\le j\le n\) reële of complexe getallen.
Een algemene vector in #\mathbb{R}^n# beschrijven we met behulp van de coördinaten #x_1,\ldots,x_n#; dus #\rv{x_1,\ldots,x_n}# zien we als een vector van #\mathbb{R}^n#. Zo kunnen de oplossingen van het stelsel vergelijkingen gezien worden als een deelverzameling #S# van #\mathbb{R}^n#.
De verzameling oplossingen van het homogene stelsel is een lineaire deelruimte van #\mathbb{R}^n#.
De verzameling oplossingen #\rv{x,y}# van de vergelijking #y=0# is de lijn #L = \left.\left\{\lambda \,\rv{1,0}\,\right| \,\lambda\in\mathbb{R} \right\}# door de oorsprong, dus een lineaire deelruimte van #\mathbb{R}^2#.
Laat #W# de verzameling oplossingen van het homogene stelsel zijn. Om te laten zien dat #W# een lineaire deelruimte van #\mathbb{R}^n# is, stellen we de volgende drie feiten vast:
1. De vector #\vec{0}# behoort tot #W#. Als we in het linker lid #a_{j,1}x_1 + a_{j,2}x_2 + \cdots + a_{j,n}x_n# van de #j#-de vergelijking #\rv{x_1,x_2,\ldots,x_n}=\vec{0}# invullen, dan staat er #0#, wat gelijk is aan het rechter lid.
2. Als #\vec{x}=\rv{x_1,x_2,\ldots,x_n}# tot #W# behoort en #\lambda# een scalar is, dan behoort ook #\lambda\cdot \vec{x}# tot #W#. Dit volgt uit \[\begin{array}{rl}&a_{j,1}\cdot\left(\lambda\cdot x_1\right) + a_{j,2}\cdot\left(\lambda\cdot x_2\right) + \cdots + a_{j,n}\cdot\left(\lambda\cdot x_n\right)\\&\phantom{xx}=\lambda\cdot\left(a_{j,1}\cdot x_1 + a_{j,2}\cdot x_2 + \cdots + a_{j,n}\cdot x_n\right)\\ &\phantom{xx}=\lambda\cdot0\\ &\phantom{xx}=0\end{array}\]
3. Als #\vec{x}=\rv{x_1,x_2,\ldots,x_n}# en #\vec{y}=\rv{y_1,y_2,\ldots,y_n}# tot #W# behoren, dan behoort ook #\vec{x}+\vec{y}# tot #W#. Dit volgt uit \[\begin{array}{rl}&a_{j,1}\cdot\left( x_1+y_1\right) + a_{j,2}\cdot\left( x_2+y_2\right) + \cdots + a_{j,n}\cdot\left( x_n+y_n\right)\\&\phantom{xx}=\left(a_{j,1}\cdot x_1 + a_{j,2}\cdot x_2 + \cdots + a_{j,n}\cdot x_n\right)\\&\phantom{xxxx}+\left(a_{j,1}\cdot y_1 + a_{j,2}\cdot y_2 + \cdots + a_{j,n}\cdot y_n\right)\\ &\phantom{xx}=0+0\\ &\phantom{xx}=0\end{array}\]
Uit deze drie feiten is eenvoudig af te leiden dat #W# aan de definitie van een lineaire deelruimte voldoet (deze conclusie wordt behandeld in een opgave).
Later zullen we zien dat, andersom, elke lineaire deelruimte van #\mathbb{R}^n# de oplossing is van een homogeen stelsel lineaire vergelijkingen in #n# onbekenden.
Is de deelverzameling #W# van #\mathbb{R}^3# bestaande uit alle vectoren #\rv{x,y,z}# die voldoen aan de vergelijking #-3\cdot x+4\cdot y-5\cdot z=12# een lineaire deelruimte van #\mathbb{R}^3#?
Nee
De verzameling #W# van oplossingen van de vergelijking #-3\cdot x+4\cdot y-5\cdot z=12# in #\mathbb{R}^3# is geen lineaire deelruimte van #\mathbb{R}^3#, want de nulvector van #\mathbb{R}^3# voldoet niet aan de vergelijking.
We kunnen dit ook anders inzien: de vectoren #\vec{a} =\rv{-4,0,0}# en #\vec{b} =\rv{0,3,0}# behoren tot #W# maar #\vec{a}+\vec{b}=\rv{-4,3,0}# niet, omdat invullen van de waarden van de coördinaten in de vergelijking leidt tot #24=12#. De lineaire combinatie #\vec{a}+\vec{b}# van #\vec{a}# en #\vec{b}# behoort dus niet tot #W#.
Het begrip lineaire deelruimte
