Rechten en vlakken

Vectorruimten: Vectorruimten en lineaire deelruimten

Rechten en vlakken

We generaliseren nu de begrippen rechte en vlak naar de context van een vectorruimte.

Rechte
Laat #\vec{p}# en #\vec{v}# twee vectoren in een vectorruimte zijn en stel #\vec{v}\neq \vec{0}#. Dan heet de verzameling vectoren
\[ \vec{p}+\lambda \cdot\vec{v} \quad\text{met }\ \lambda \in \mathbb{R} \]
een rechte in de vectorruimte. De vector #\vec{p}# heet steunvector van de rechte en de vector #\vec{v}# richtingsvector.

De beschrijving van de rechte als #\vec{p}+\lambda\cdot \vec{v}# heet een parametervoorstelling van de rechte (met parameter #\lambda#).

Als de vectorruimte #\mathbb{E}^2# of #\mathbb{E}^3# is, dan komen de definities overeen met die van een geparameteriseerde rechte. Er is dus inderdaad sprake van een generalisatie van het Euclidische vlak en de Euclidische ruimte naar het geval van een algemene vectorruimte.

In de parametervoorstelling komen alleen een som en een scalair product van vectoren voor. Daarom is het mogelijk deze meer algemene definitie te geven.

Elke vector op de rechte #l# met parametervoorstelling
\[
\vec{p}+\lambda \cdot\vec{v}
\]kan fungeren als steunvector van #l#: is namelijk #\alpha# een vast getal, dan is eenvoudig na te gaan dat de rechte #m# gegeven door de parametervoorstelling
\[
\left(\vec{p}+\alpha \cdot\vec{v}\right)+\lambda \cdot\vec{v}
\]dezelfde rechte is als #l#. Immers, door een vector #\left(\vec{p}+\alpha \cdot\vec{v}\right)+\lambda \cdot\vec{v}
# van #m# te herschrijven als #\vec{p}+\left(\alpha +\lambda\right)\cdot\vec{v}# zien we dat vectoren van #m# ook tot #l# behoren, en door #\vec{p}+\lambda \cdot \vec{v}# te herschrijven als #\left(\vec{p}+\alpha\cdot \vec{v}\right)+(\lambda-\alpha) \cdot\vec{v}# stellen we vast dat elke vector op #l# ook op #m# ligt.

De richtingsvector van #l# is uniek bepaald tot op een scalair veelvoud.

Vlak
Laat #\vec{p}#, #\vec{v}#, #\vec{w}# drie vectoren in een vectorruimte zijn, zodat #\vec{v}# geen scalair veelvoud van #\vec{w}# is, en #\vec{w}# geen scalair veelvoud van #\vec{v}#. De verzameling vectoren
\[\vec{p} +\lambda\cdot \vec{v} +\mu\cdot \vec{w} \phantom{xxx}\text{met}\phantom{xxx} \lambda ,\mu \in \mathbb{R}\]
heet een vlak in de vectorruimte met steunvector #\vec{p}# en richtingsvectoren #\vec{v}# en #\vec{w}#.

Deze beschrijving heet een parametervoorstelling van het vlak (met parameters #\lambda# en #\mu#).

Als de vectorruimte #\mathbb{E}^3# is, dan komen de definities overeen met de eerder gegeven definities betreffende een geparameteriseerd vlak in de ruimte. Er is dus inderdaad sprake van een generalisatie van het Euclidische vlak en de Euclidische ruimte naar het geval van een algemene vectorruimte.

Later zullen we de condities op de twee richtingsvectoren formuleren als: #\vec{v}# en #\vec{w}# zijn lineair onafhankelijk.

Alweer kan elke vector in het vlak fungeren als steunvector.

De richtingsvectoren kunnen variëren binnen de lineaire combinaties van #\vec{v}# en #\vec{w}#, en wel zodanig dat aan de gestelde eis dat geen van de twee een scalair veelvoud van de ander is, voldaan blijft. Dit is in te zien met redeneringen die vergelijkbaar zijn met het geval van de rechte. De eis heeft tot gevolg dat #\vec{v}\neq \vec{0}# en #\vec{w}\neq \vec{0}#.

Rechten en vlakken zijn dus verzamelingen van de vorm \[\vec{a}+W =\left\{\vec{a}+\vec{w}\mid \vec{w}\in W\right\}\]voor een gegeven vector #\vec{a}# en een lineaire deelruimte #W#. In het algemene geval (van willekeurige deelruimten #W# in plaats van alleen rechten en vlakken, ofwel: willekeurig veel parameters) heet deze verzameling een affiene deelruimte.

Rechten en vlakken hebben veel te maken met lineaire deelruimten maar zijn dat zelf niet altijd:

Rechten en vlakken door de oorsprong

Een rechte of vlak is dan en slechts dan een lineaire deelruimte als het #\vec{0}# bevat. Dit is precies dan het geval als de steunvector een lineaire combinatie van de richtingsvectoren is.

Laat #l# een rechte zijn. Als #\vec{0}\in l#, dan kunnen we #\vec{0}# als steunvector gebruiken en de rechte beschrijven met de parametervoorstelling #\lambda\cdot \vec{v}# voor een geschikte vector #\vec{v}# die niet de nulvector is. Aangezien de som #\lambda \cdot\vec{v}+\mu\cdot \vec{v}# te schrijven is als #(\lambda +\mu)\cdot\vec{v}#, behoort de som van twee vectoren uit #l# tot #l#. Een scalair veelvoud #\mu\cdot (\lambda \cdot\vec{v})# behoort ook weer tot #l# aangezien de vector te schrijven is als #(\mu \cdot\lambda)\cdot \vec{v}#.

Het bewijs voor vlakken gaat net zo.

Het betreft hier overigens een speciaal geval van een meer algemene situatie die later aan de orde komt.

In het algemeen is een affiene deelruimte #\vec{a}+W#, waarbij #\vec{a}# een vector is en #W# een lineaire deelruimte, dan en slechts dan een lineaire deelruimte als #\vec{a}# tot #W# behoort.

Rechten en vlakken worden bepaald door twee, respectievelijk drie vectoren:

Rechte en vlak door een gegeven stel punten

Laat #\vec{p}#, #\vec{q}# en #\vec{r}# drie verschillende vectoren zijn die niet alle drie op een rechte liggen.

Er is een unieke rechte die #\vec{p}# en #\vec{q}# bevat; deze heeft parametervoorstelling #\vec{p}+\lambda\cdot\left(\vec{q}-\vec{p}\right)#.
Er is een uniek vlak dat #\vec{p}#, #\vec{q}# en #\vec{r}# bevat; het heeft parametervoorstelling #\vec{p} +\lambda\cdot\left( \vec{q}-\vec{p}\right) +\mu\cdot\left( \vec{r}-\vec{p}\right)#.

We hebben inderdaad te maken met een parametervoorstelling voor een rechte, respectievelijk een vlak. Daarom is het voldoende na te gaan dat de aangegeven vectoren tot de rechte, respectievelijk het vlak, behoren:

Voor de rechte vinden we
- #\vec{p}# voor #\lambda =0# en
- #\vec{q}# voor #\lambda =1#.
Voor het vlak vinden we
- #\vec{p}# voor #\lambda =\mu =0#,
- #\vec{q}# voor #\lambda =1#, #\mu =0# en
- #\vec{r}# voor #\lambda =0#, #\mu =1#.

De deelverzameling \[ V=\left\{ \rv{x,y,z}\in\mathbb{R}^3 \mid 7 x-4 y-z =7\right \}\] van de vectorruimte #\mathbb{R}^3# is een vlak. Laat dit zien door een parametervoorstelling van #V# te geven.

#\rv{0,0,-7}+\lambda\cdot\rv{1,0,7}+\mu\cdot\rv{0,1,-4}#

Neem #x=\lambda#, #y=\mu#. Dan is #z=7\lambda -4 \mu -7#, zodat #V# bestaat uit de vectoren
\[\begin{array}{rcl} \rv{x,y,z}&=&\rv{\lambda,\mu,7\lambda -4\mu -7}\\&=&\rv{0,0,-7}+\lambda \cdot\rv{1,0,7}+\mu \cdot\rv{0,1,-4}\end{array} \]
We concluderen dat #V# het vlak is in #\mathbb{R}^3# met steunvector #\rv{0,0,-7}# en richtingsvectoren #\rv{1,0,7}# en #\rv{0,1,-4}#.

De vergelijking #7 x-4 y-z=7# heet de vergelijking van het vlak #V#. We hebben de vergelijking omgezet in een parametervoorstelling van het vlak.

Nieuw voorbeeld