Onafhankelijkheid

Vectorruimten: Opspansels

Onafhankelijkheid

We hebben in Vegen met vectoren een voorbeeld gezien van een door drie vectoren opgespannen deelruimte die ook door twee vectoren kan worden opgespannen. We bespreken nu hoe we voor een gegeven stel vectoren zuinige stelsels kunnen vinden die dezelfde deelruimte opspannen als het gegeven stel. Naast de stelling Standaardbewerkingen met opspannende vectoren en de Uitwisselingsstelling spelen daarbij de begrippen afhankelijkheid en onafhankelijkheid een rol.

(On)afhankelijk stel
Een stel vectoren #\vec{u}_1,\ldots ,\vec{u}_n# van een vectorruimte heet (lineair) afhankelijk als minstens één van de vectoren afhankelijk is van de overige, en (lineair) onafhankelijk als geen der vectoren een lineaire combinatie van de overige is.

Als een van de vectoren uit bovenstaand stel een lineaire combinatie van enkele andere is, dan zeggen we dat deze vector (lineair) afhankelijk van die andere is. Zo niet, dan heet de vector (lineair) onafhankelijk van die andere te zijn.

Een niet-triviale relatie tussen de vectoren #\vec{u}_1,\ldots ,\vec{u}_n# is een gelijkheid
\[
\lambda_1 \cdot\vec{u}_1 + \lambda_2\cdot \vec{u}_2 + \cdots + \lambda_n\cdot \vec{u}_n =\vec{0}
\]waarbij niet alle getallen #\lambda_1, \lambda_2, \ldots ,\lambda_n# gelijk zijn aan #0#.

Als er een niet-triviale relatie tussen twee vectoren #\vec{u}_1# en #\vec{u}_2# bestaat, dan zijn er scalairen #\lambda_1# en #\lambda_2#, zo dat #\lambda_1 \cdot\vec{u}_1 =- \lambda_2\cdot \vec{u}_2#, waarbij #\lambda_1# of #\lambda_2# ongelijk is aan nul. In het eerste geval is #\vec{u}_1=-\frac{\lambda_2}{\lambda_1}\cdot\vec{u}_2#, een scalair veelvoud van #\vec{u}_2#, in het tweede geval is #\vec{u}_2=-\frac{\lambda_1}{\lambda_2}\cdot\vec{u}_1#, een scalair veelvoud van #\vec{u}_1#. Het bestaan van een niet-triviale relatie tussen twee vectoren komt dus neer op het feit dat (minstens) één van de twee een scalair veelvoud van de ander is.

Elk stelsel vectoren is afhankelijk of onafhankelijk.

De eigenschappen afhankelijkheid en onafhankelijkheid hangen niet af van de volgorde van het stel vectoren #\vec{u}_1,\ldots ,\vec{u}_n#; we kunnen dus ook spreken van de (lineaire) afhankelijkheid en onafhankelijkheid van een verzameling van vectoren.

Om vast te stellen of een gegeven stel vectoren lineair onafhankelijk is, gebruiken we vaak het volgende criterium:

Afhankelijkheidscriterium
Een stel vectoren #\vec{u}_1,\ldots ,\vec{u}_n# van een vectorruimte is dan en slechts dan afhankelijk als er een niet-triviale relatie bestaat tussen de vectoren #\vec{u}_1,\ldots ,\vec{u}_n#.

Bewijs van de implicatie #\Leftarrow#: Als de vergelijking\[
\lambda_1 \cdot\vec{u}_1 + \lambda_2\cdot \vec{u}_2 + \cdots + \lambda_n\cdot \vec{u}_n =\vec{0}
\] een oplossing heeft waarbij bijvoorbeeld #\lambda_i \neq 0#, dan is
\[
\vec{u}_i = \frac{-\lambda_1}{\lambda_i} \vec{u}_1 +\cdots+ \frac{-\lambda_{i-1}}{\lambda_i} \vec{u}_{i-1}+\frac{-\lambda_{i+1}}{\lambda_i} \vec{u}_{i+1} +\cdots+
\frac{-\lambda_n}{\lambda_i} \vec{u}_n ,
\] zodat #\vec{u}_i# afhankelijk is van de overige vectoren.

Bewijs van de implicatie #\Rightarrow#: Neem aan dat de vergelijking\[
\lambda_1 \cdot\vec{u}_1 + \lambda_2\cdot \vec{u}_2 + \cdots + \lambda_n\cdot \vec{u}_n =\vec{0}
\] enkel de nuloplossing (waarbij alle getallen #\lambda_1, \lambda_2, \ldots ,\lambda_n# gelijk zijn aan #0#) heeft. Is nu bijvoorbeeld #\vec{u}_i# afhankelijk van de vectoren #\vec{u}_1, \ldots , \vec{u}_{i-1}, \vec{u}_{i+1},\ldots , \vec{u}_n#, dat wil zeggen: te schrijven is als
\[
\vec{u}_i = \mu_1 \vec{u}_1 + \cdots + \mu_{i-1}\vec{u}_{i-1} + \mu_{i+1}\vec{u}_{i+1}
+ \cdots + \mu_n \vec{u}_n
\] dan volgt hieruit de niet-triviale relatie
\[
\mu_1 \vec{u}_1 + \cdots + \mu_{i-1}\vec{u}_{i-1} -1\cdot\vec{u}_i + \mu_{i+1}\vec{u}_{i+1}
+ \cdots + \mu_n \vec{u}_n =\vec{0}
\] in tegenspraak met de gegeven voorwaarde.

Met andere woorden, het stel is dan en slechts dan lineair afhankelijk als er een vector bij zit die lineair afhankelijk van de andere vectoren is.

Twee reële getallen #a# en #b# zijn afhankelijk in #\mathbb{R}#:

als beide gelijk aan #0# zijn, dan is #1\cdot a+ 1\cdot b = 0# een niet-triviale relatie;
als ten minste één van #a# en #b# niet nul is, dan is #b\cdot a- a\cdot b=0# een niet-triviale relatie.

Met dit criterium kunnen we (on)afhankelijkheid van het stel vectoren #\vec{u}_1,\ldots ,\vec{u}_n# testen door het stelsel lineaire vergelijkingen \[\lambda_1\cdot\vec{u}_1 + \lambda_2\cdot \vec{u}_2 + \cdots + \lambda_n \cdot\vec{u}_n =\vec{0}\]met onbekenden #\lambda_1#, #\lambda_2, \ldots ,\lambda_n# op te lossen. Als de enige oplossing is #\lambda_1 =0, \lambda_2=0, \ldots , \lambda_n=0#, dan is het stelsel onafhankelijk. Als er een andere oplossing is, dan is het stelsel afhankelijk.

Uitdunnen
Ieder stel #\vec{u}_1,\ldots,\vec{u}_m# in een vectorruimte #V# dat niet louter uit nulvectoren bestaat, kan uitgedund worden tot een onafhankelijk stel met hetzelfde opspansel #U=\linspan{\vec{u}_1,\ldots,\vec{u}_m }#:

Als #\vec{u}_1,\ldots \vec{u}_m# een onafhankelijk stel is, dan zijn we al klaar.
Zo niet, dan is een van de vectoren afhankelijk van de overige. Laat die weg, zodat we #m-1# vectoren overhouden die nog steeds #U# opspannen, en ga terug naar de vorige stap.

Op deze manier vinden we na hoogstens #m# weglatingen een onafhankelijk stelsel dat #U# opspant.

Het gevonden stelsel dat #U# opspant zal later minimaal blijken te zijn, in de zin dat er geen kleiner aantal opspannende vectoren voor #U# gevonden kan worden.

Laat #n# een natuurlijk getal zijn. Bewijs dat het stel
\[
\begin{array}{rcl}
\vec{e}_1 & =&\rv{1,0,0,\ldots ,0},\\
\vec{e}_2 & =&\rv{0,1,0,\ldots ,0},\\
& \vdots& \\
\vec{e}_n & =&\rv{0,0,0,\ldots ,1},
\end{array}
\]
van vectoren in #\mathbb{R}^n# onafhankelijk is.

De vergelijking
\[
\lambda_1 \cdot\vec{e}_1 + \cdots + \lambda_n\cdot \vec{e}_n =\rv{0,\ldots ,0}
\]met onbekenden #\lambda_1,\ldots, \lambda_n# komt, na uitschrijving in coördinaten, neer op #\rv{\lambda_1 ,\ldots , \lambda_n }=\rv{0,\ldots ,0}#. Dit stelsel heeft als enige oplossing #\lambda_1 =\cdots =\lambda_n=0#. Volgens het Afhankelijkheidscriterium bewijst dit dat het stel vectoren #\vec{e}_1 ,\vec{e}_2, \ldots,\vec{e}_n# onafhankelijk is.

Nieuw voorbeeld