We zijn uitgegaan van een wensenlijst voor het rekenen met een uitbreiding van de reële getallen, waarin de vergelijking #z^2=-1# een oplossing heeft. De wensen bestonden uit het behoud van zoveel mogelijk eigenschappen die we van de reële getallen kennen.

Vervolgens hebben we de complexe getallen geconstrueerd door uit te gaan van de punten van het platte vlak. De optelling is de bekende vectoroptelling, maar de vermenigvuldiging was nieuw. In termen van poolcoördinaten bleek de vermenigvuldiging goed te beschrijven: de hoeken met de #x#-as van de twee complexe getallen die vermenigvuldigd worden, worden opgeteld, en de lengtes worden vermenigvuldigd.

Allerlei regels van de reële getallen bleken door te gaan voor complexe getallen, en er kwamen zelfs sterke nieuwe staaltjes bij. Zo heeft elke veelterm een nulpunt, en is elk complex getal een nulpunt van een kwadratische reële veelterm.

De constructie van complexe getallen kan opgevat worden als een speciaal geval van een constructie van rekensystemen die in de algebravakken aan de orde komt. De formulering van de complexe getallen met behulp van paren reële getallen zoals in dit hoofdstuk gegeven dateert uit 1833 en gaat terug op W.R. Hamilton (1805-1865). Hamilton wist deze constructie nog te generaliseren tot een rekensysteem met elementen van de vorm #a+b\cdot{\rm i} +c\cdot{\rm j} +d\cdot{\rm k}# (met #a,b,c,d\in \mathbb{R}#), waarin #{\rm i}^2=-1#, #{\rm j}^2 =-1#, #{\rm k}^2=-1#, #{\rm i }\cdot{\rm j}={\rm k}=-{\rm j}\cdot{\rm i}#, #{\rm j}\cdot{\rm k} =\ii=-{\rm k}\cdot {\rm j}#, #{\rm k}\cdot{\rm i}={\rm j}=-{\rm i}\cdot{\rm k}#; dit is het rekensysteem van de zogenaamde quaternionen.

Voor de lineaire algebra ligt het nut van complexe getallen daarin dat we allerlei veeltermvergelijkingen kunnen oplossen (dat zal in de volgende hoofdstukken blijken). Rekenen met veeltermen komt in het hoofdstuk Veeltermen en rationale functies uitgebreider aan de orde.

De Hoofdstelling van de algebra Hoofdstelling van de Algebra gaat terug op C.F. Gauss (1777-1855); er bestaan diverse bewijzen van deze stelling, sommige algebraïsch, sommige analytisch.

Dat er geen expliciete formules bestaan om veeltermvergelijkingen van graad 5 en hoger op te lossen, vergt meer algebraïsche technieken dan we hieur behandeld hebben.

De analyse van functies #f:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}# (dat wil zeggen, kwesties als differentieerbaarheid en integreerbaarheid) is een onderdeel van het vak Complexe functies en Fouriertheorie.

De complexe getallen worden veel gebruikt in de elektrotechniek en de mathematische fysica.