Complexe getallen: Invoering van de complexe getallen
Imaginaire getallen
Het is bekend dat #-1# negatief is en dat het kwadraat van een reëel getal niet negatief is. Dit heeft tot gevolg dat de vergelijking \[x^2=-1\] met onbekende #x# geen reële oplossing heeft. We gaan de verzameling reële getallen zodanig uitbreiden dat deze vergelijking wel een oplossing heeft. Deze nieuwe verzameling heet de verzameling van complexe getallen en wordt aangeduid met de schoongeschreven letter \(\mathbb{C}\).
Kenmerken van complexe getallen
Kenmerkende eigenschappen van \(\mathbb{C}\) zijn:
- De reële getallen maken deel uit van \(\mathbb{C}\).
- Getallen in \(\mathbb{C}\) kun je optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen (behalve door nul); het resultaat van zo'n operatie is weer een element van \(\mathbb{C}\).
- De rekenregels commutativiteit, associativiteit, distributiviteit en de rollen van #0# en #1#, zoals we ze kennen van de reële getallen, gelden ook voor \(\mathbb{C}\).
- De vergelijking \(x^2=-1\) heeft een oplossing in \(\mathbb{C}\).
- "De reële getallen maken deel uit van \(\mathbb{C}\)" betekent dat #\mathbb{R}# met een deelverzameling van #\mathbb{C}# te identificeren is en dat optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen van elementen uit die deelverzameling overeenkomt met dezelfde operatie voor de reële getallen.
- "De vergelijking \(x^2=-1\) heeft een oplossing in \(\mathbb{C}\)" betekent niet dat die oplossing uniek is. We benadrukken dit, omdat voor elke oplossing #x#, ook #-x# een oplossing is.
Volgens de vierde eigenschap bestaat er een complex getal #x# waarvoor geldt dat \(x^2=-1\). Dit getal zouden we als \(\sqrt{-1}\) kunnen schrijven. Maar er zijn goede redenen om hiervoor een nieuw symbool in te voeren.
Imaginaire eenheid
De imaginaire eenheid \({\ii}\) is een complex getal met de eigenschap dat \({\ii}^2 = -1 \).
Waarom schrijven we eigenlijk liever \({\ii}\) voor de imaginaire eenheid in plaats van \(\sqrt{-1}\)? We geven twee redenen:
- Een reden daarvoor is dat de belangrijke rekenregel \[ \sqrt{x}\cdot\sqrt{y}=\sqrt{x\cdot y}\]voor de wortels van positieve getallen niet geldt voor de wortels van negatieve getallen. Stel immers dat deze regel wel zou gelden, en neem \(x=-1\) en \(y=-1\); dan zouden we de volgende tegenspraak krijgen: \[ -1 = {\ii}^2=\ii \cdot \ii = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt{-1 \cdot -1} = \sqrt{1} = 1\] Met de wortelnotatie is de kans op dit soort fouten groter dan bij een strak geregelde formulemanipulatie met de imaginaire eenheid \({\ii}\).
- Een tweede reden is dat #\sqrt{y}# bij positieve reële getallen \(y\), het unieke positieve reële getal #x# aangeeft met #x^2=y#, terwijl we niet kunnen zeggen wat we met positief bedoelen als het om complexe getallen gaat. Als we vastgesteld hebben dat #x=\ii# een oplossing is van de vergelijking #x^2=-1#, dan is #x=-\ii# dat ook. Daarom leggen we graag een getal #\ii# vast met de eigenschap dat #\ii^2=-1#, om vervolgens #\sqrt{-1}# te definiëren in termen van #\ii#: zie hieronder.
Ingenieurs gebruiken voor de imaginaire eenheid vaak het symbool \(\mathrm{j}\) omdat de letter #\ii# in de elektriciteitsleer al vergeven is als symbool voor stroomsterkte. In deze cursus houden we het bij de gebruikelijke wiskundige notatie.
In het kader van het derde kenmerk van de complexe getallen kijken we naar de volgende bekende wet.
\[\sqrt{x}\cdot \sqrt{y} = \sqrt {x\cdot y }\text{ voor positieve reële getallen }x\text{ en }y\tiny.\]
We hebben al gezien dat de wet niet goed werkt als #x# en #y# beide negatief zijn. We gaan er nu van uit dat bovenstaande regel wel werkt als \(y=-1\) en \(x\) een positief reëel getal is. We komen dan uit op de volgende definitie:
De wortel uit een negatief reëel getal
Voor een positief reëel getal \(x\) schrijven we: \[\sqrt{-x}=\sqrt{x}\cdot \ii=\sqrt{x}\,\ii\]In het bijzonder leggen we hiermee vast dat #\sqrt{-1} = \ii#.
Het rechter lid, #\sqrt{x}\cdot\ii#, is een speciaal getal van de vorm #a\cdot\ii#. Vereist is dat het een getal in #\mathbb{C}# is omdat we producten van complexe getallen willen toelaten, en het reële getal #a#, of #\sqrt{x}#, tot #\mathbb{C}# behoort.
Omdat we aannemen dat \(\sqrt{x}\cdot \sqrt{y} = \sqrt {x\cdot y }\) geldt als ten hoogste één van \(x\), \(y\) negatief is, vinden we: \[\sqrt{-x}=\sqrt{x\cdot -1} = \sqrt{x}\cdot\sqrt{-1}=\sqrt{x}\,{\ii}\tiny. \]
De natuurlijke interpretatie van #\sqrt{-x}#, met #x\gt0#, is dat het een complex getal is dat voldoet aan #\sqrt{-x}^2=-x#. Dit is inderdaad het geval:\[\sqrt{-x}^2=\left(\sqrt{x}\,\ii\right)^2=\sqrt{x}^2\cdot {\ii}^2 = x\cdot (-1)=-x\tiny.\]
De constructie van complexe getallen is gebaseerd op de toevoeging van de imaginaire eenheid \({\ii}\) aan de reële getallen. Wat betekent het nu dat we \({\ii}\) aan de reële getallen toevoegen? We willen zeker \({\ii}\) met een reëel getal #y# kunnen vermenigvuldigen; dit geeft getallen van de vorm \(y\,{\ii}\).
Imaginair getal
Een getal van de vorm \(y\cdot \ii\), waarbij \(y\) een reëel getal is, heet een imaginair getal.
Het getal #-1\cdot\ii# wordt vaak afgekort tot #-\ii#.
Het kwadraat van het imaginaire getal \(y\cdot \ii\) is \(\left(y\cdot \ii\right)^2=-y^2\), een niet-positief reëel getal.
Voor elk negatief reëel getal #a# zijn er dus twee imaginaire getallen die in het kwadraat #a# opleveren: #\sqrt{-a}\cdot\ii# en #-\sqrt{-a}\cdot\ii#. Later zullen we zien dat dit ook de enige twee complexe oplossingen van de vergelijking #z^2=a# met onbekende #z# zijn.
Imaginaire getallen kunnen we al vermenigvuldigen en tot een positieve gehele macht verheffen. We hoeven dan alleen de gebruikelijke rekenregels te hanteren en de eigenschap \({\ii}^2=-1\) toe te passen om een resultaat te vereenvoudigen. Het resultaat zal steeds een reëel of een imaginair getal zijn.
Immers,
\[\begin{array}{rcll}\sqrt{-5} &=&\sqrt{5 \cdot (-1)}&\phantom{uvwxyz}\color{blue}{\text{product van re}\ddot{\mathrm{e}}\text{le getallen}}\\&=&\sqrt{5} \cdot \sqrt{-1} &\phantom{uvwxyz}\color{blue}{5 \text{ is positief}}\\
&=&\sqrt{5} \cdot\ii &\phantom{uvwxyz}\color{blue}{\sqrt{-1} = \ii}\end{array}\]
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
