Stelsels lineaire vergelijkingen en matrices: Matrices
Het begrip matrix
Het woord matrix is al eerder in dit hoofdstuk gebruikt. Het was toen een rechthoekig schema van getallen om de boekhouding van de Gauss-eliminatiemethode kort en bondig te houden. In het algemeen wordt het woord matrix (meervoud matrices) in de wiskunde gebruikt voor ieder rechthoekig schema getallen.
Matrices zijn, net als vectoren, van nut op talloze plaatsen, niet alleen voor het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen. Daarom kijken we nu naar matrices zonder de achtergrond van lineaire vergelijkingen. We beperken ons voorlopig tot enkele standaardbewerkingen met matrices die enkel getallen bevatten:
- de optelling, vermenigvuldiging en scalaire vermenigvuldiging van matrices,
- speciale matrices als de nulmatrix en de identiteitsmatrix,
- de getransponeerde matrix,
- de inverse van een matrix.
Het begrip matrix
Een matrix is een rechthoekig schema getallen, meestal omgeven door ronde haken, bijvoorbeeld
\[
A=\left(\,\begin{array}{rrrr}
1 & 0 & 4 & -2\\
0 & 2 & 0 & 1
\end{array}\,\right)
\] In dit voorbeeld bestaat de matrix uit 2 rijen en 4 kolommen. De derde kolom van \(A\) is gelijk aan \(\begin{array}{r} 4\\0\end{array}\); we noteren dit meestal als een kolomvector \(\cv{4\\0}\). De tweede rij van \(A\) bestaat uit de serie getallen \(0\; 2\; 0\; 1\); we noteren dit meestal als rijvector \(\rv{0,2,0,1}\).
De hoofddiagonaal van een matrix is de diagonaal die linksboven begint. In het voorbeeld bestaat de hoofddiagonaal uit de getallen #1# en #2#.
Als de matrix uit \(m\) rijen en \(n\) kolommen bestaat dan spreken we van een \((m\times n)\)-matrix. Het paar natuurlijke getallen \(\rv{m,n}\) noemen we ook wel de afmeting of de vorm van de matrix. Dit schrijven we vaak als #m\times n#. Ons voorbeeld is dus een \((2\times 4)\)-matrix; de matrix heeft afmeting \( 2\times 4\).
Een \((1\times 1)\)-matrix identificeren we altijd met het enige element hierin en beschouwen we dus als een getal. Een \((m\times 1)\)-matrix telt slechts één kolom. Zo'n matrix noemen we een kolomvector. Een \((1\times n)\)-matrix telt slechts één rij. Zo'n matrix noemen we een rijvector.
Matrices geven we vaak met hoofdletters aan, zoals \(A\), \(B\) en \(C\). De getallen in de matrix noemen we de elementen van de matrix. Het element op de \(i\)-de rij en de \(j\)-de kolom noteren we vaak door aan het symbool van de matrix een subindex #ij# toe te voegen: #A_{ij}#. Met andere woorden, de eerste index geeft aan in welke rij het element staat en de tweede index in welke kolom. We spreken van het \((i,j)\)-element of het element met index \(\rv{i,j}\).
Wordt de matrix met een hoofdletter aangegeven dan gebruiken we ook vaak kleine letters voor de elementen: #a_{ij}#. We schrijven dus wel #A=(a_{ij})# of #A=(A_{ij})# om een matrix en zijn elementen aan te geven. Een #(m\times n)#-matrix ziet er dus als volgt uit: \[A=\matrix{a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots &\ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}}\]
De verzameling van alle \((m\times n)\)-matrices wordt genoteerd met \(M_{m\times n}\). Als het van belang is te weten uit welke verzameling de elementen komen, dan geven we dit als volgt aan: #M_{m\times n}(\mathbb{R})#, #M_{m\times n}(\mathbb{C})#, enzovoorts.
Twee matrices #A# en #B# zijn gelijk als ze dezelfde afmeting hebben (dat wil zeggen: het aantal rijen van #A# is gelijk aan het aantal rijen van #B#, en net zo voor het aantal kolommen) en als alle corresponderende elementen in de twee matrices gelijk zijn (dat wil zeggen: #a_{ij} = b_{ij}# voor alle toelaatbare #i# en #j#).
We geven nog enkele voorbeelden van speciale vormen van matrices die we veelvuldig gebruiken.
Vierkante matrix Als het aantal rijen van een matrix gelijk is aan het aantal kolommen dan spreken we van een vierkante matrix. De algemene vorm van een vierkante matrix is dus \[A=\matrix{a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots& \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}}\]
Onder- en bovendriehoeksmatrix Een vierkante matrix met onder de hoofddiagonaal alleen maar nullen heet een bovendriehoeksmatrix. De algemene vorm van een bovendriehoeksmatrix met afmeting #\rv{n,n}# is dus \[ B=\matrix{b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\ 0 & b_{22} & \cdots & b_{2n}\\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\ 0 & \cdots &0 & b_{nn}}\]We spreken van een onderdriehoeksmatrix als het een matrix is met boven de hoofddiagonaal alleen maar nullen.
Diagonaalmatrix Een vierkante matrix die alleen op de hoofddiagonaal getallen ongelijk aan nul heeft staan heet een diagonaalmatrix. De algemene vorm van een diagonaalmatrix is dus \[D=\matrix{d_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & d_{22} & \ddots & \vdots\\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & d_{nn} }\]
Identiteitsmatrix Een diagonaalmatrix met alleen maar enen op de hoofddiagonaal noemen we een identiteitsmatrix of eenheidsmatrix; we gebruiken er de letter \(I\) voor, of als het aantal rijen (en dus ook het aantal kolommen) gelijk aan #n# is, #I_n#. De algemene vorm is \[I=\matrix{1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \ddots & \vdots\\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & 1 }\]
Nulmatrix Zijn alle elementen van een matrix gelijk aan nul, dan noemen we de matrix een nulmatrix.
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
