Vermenigvuldiging van matrices

Stelsels lineaire vergelijkingen en matrices: Matrices

Vermenigvuldiging van matrices

Het vermenigvuldigen van matrices is wat ingewikkelder dan het optellen omdat het niet componentsgewijs gaat en omdat de afmetingen en de volgorde van de matrices in een matrixvermenigvuldiging er toe doen.

Het matrixproduct

We definiëren het product \(A\,B\) van twee matrices \(A\) en \(B\) alleen als iedere rij van \(A\) even lang is als iedere kolom van \(B\). Dus als \(A\) een \((m\times n)\)-matrix is, dan moet \(B\) een \((n\times p)\)-matrix zijn voor zekere \(p\). Als dit het geval is, dan is het matrixproduct \(A\,B\) een \((m\times p)\)-matrix. Het element \(c_{ij}\) in de \(i\)-de rij en \(j\)-de kolom in het matrixproduct \(C=A\,B\) is als volgt gedefinieerd
\[
c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots +a_{in}b_{nj} \quad\text{voor }\quad i=1,\ldots, m; \, j=1,\ldots, p
\]

We kunnen het rechter lid in de definitie van \(c_{ij}\) ook schrijven als inproduct van de #i#-de rijvector van #A# en de #j#-de kolomvector van #B# (opgevat als kolomvectoren) of als het matrixproduct van de #i#-de rijvector van #A# en de #j#-de kolomvector van #B# (opgevat als matrices): \[c_{ij} = \cv{a_{i1}\\ \vdots\\ a_{in}}\boldsymbol{\cdot}\cv{b_{1j}\\ \vdots\\ b_{nj}}= \matrix{a_{i1}& \cdots & a_{in}}\matrix{b_{1j}\\ \vdots\\ b_{nj}}\]

Het product van de matrices #A# en #B# kan als volgt gevisualizeerd worden: \[\text{Als}\quad A=\matrix{a_{11} & \cdots & a_{1n}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn}}\quad\text{en}\quad B=\matrix{b_{11} & \cdots & a_{1p}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n1} & \cdots & b_{np}}\] dan is \(C=AB\) de \((m\times p)\)-matrix waarvan het element \(c_{ij}\) het inproduct is van de magentagekleurde rij en kolom van de matrices #A# en #B#: \[\matrix{a_{11} & a_{12} &\cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ \color{magenta}{a_{i1}} & \color{magenta}{a_{i2}} & \color{magenta}{\cdots} & \color{magenta}{a_{in}}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}} \matrix{b_{11} & b_{12} & \cdots & \color{magenta}{b_{1j}} & \cdots & b_{1p} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & \color{magenta}{b_{2j}} & \cdots & b_{2p}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \color{magenta}{\vdots} & \ddots & \vdots \\ b_{n1} & b_{n2} & \cdots & \color{magenta}{b_{nj}} & \cdots & b_{np}} = \matrix{ c_{11} & \cdots & c_{1p} \\ \vdots & \color{magenta}{c_{ij}} & \vdots \\ c_{m1} & \cdots & c_{mp}} \]

De definitie van het product van matrices vindt zijn inspiratie in de schrijfwijze van lineaire vergelijkingen en stelsels lineaire vergelijkingen. Een lineaire vergelijking \[a_1x_1+a_2x_2+\cdots + a_nx_n=b\] kan geschreven worden als inproduct van vectoren \(\cv{a_1\\ \vdots\\ a_n}\) en \(\cv{x_1\\ \vdots\\ x_n}\), oftewel als \[a_1x_1+a_2x_2+\cdots + a_nx_n= \cv{a_1\\ \vdots\\ a_n}\boldsymbol {\cdot} \cv{x_1\\ \vdots\\ x_n} = (a_1\;\cdots\;a_n)^{\top}\cdot \cv{x_1\\ \vdots\\ x_n}=b\] Dit ziet er dan in matrixnotatie uit als \[\sum_{i=1}^n a_ix_i = \matrix{a_1 & \cdots & a_n}\matrix{x_1\\ \vdots\\ x_n}=b\] Dit suggereert het concept van 'rijvector maal kolomvector'.

Net zo kunnen we ook een stelsel lineaire vergelijkingen in een matrixnotatie schrijven door het aan elkaar plakken van de lineaire vergelijkingen in matrixnotatie. Het stelsel van \(m\) lineaire vergelijkingen met \(n\) onbekenden \(x_1, \ldots, x_n\)\[\left\{\;\begin{array}{llllllll} a_{11}x_1 \!\!\!\!&+&\!\!\!\! \cdots \!\!\!\!&+&\!\!\!\! a_{1n}x_n\!\!\!\!&=&\!\!\!\!b_1\\ \;\;\vdots &&&& \vdots&&\!\!\!\!\vdots\\ a_{m1}x_1 \!\!\!\!&+&\!\!\!\! \cdots \!\!\!\!&+&\!\!\!\! a_{mn}x_n\!\!\!\!&=&\!\!\!\!b_m\end{array}\right.\]is in matrixnotatie te schrijven als \[ \matrix{ a_{11} & \ldots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & \ldots & a_{mn} } \matrix{x_1\\ \vdots \\ x_n}= \matrix{b_1\\ \vdots \\ b_m }\]

Het oplossen van het stelsel lineaire vergelijkingen is dan het vinden van een kolommatrix \(x\) waarvan de vermenigvuldiging van links met de coëfficiëntenmatrix \(A\) de kolommatrix \(b\) oplevert. Dit oplossen van een stelsel bij de gegeven coëfficiëntenmatrix \(A\) kun je natuurlijk voor meerdere kolomvectoren \(b\) tegelijk doen en bondig noteren door \(x\) en \(b\) door meerdere kolommen te vervangen, in feite dus door matrices \(X\) en \(B\). De forceert een unieke keus voor #AX#: de matrixvermenigvuldiging zoals we die gedefiniëerd hebben.

Niet commutatiefAls #A=\matrix{0&1\\ 0&0}# en #B = \matrix{0&0\\ 1&0}#, dan geldt\[\begin{array}{rcl}A\, B &=& \matrix{1&0\\ 0&0}\\ B\, A &=& \matrix{0&0\\ 0&1}\end{array}\]Matrixvermenigvuldiging is dus niet commutatief als de afmetingen groter dan #1# zijn.

Gebruik zo veel voorbeelden als nodig om het berekenen van het product van matrices onder de knie te hebben.

\(\matrix{-5&-2\\2&-3} \cdot \matrix{1&0\\4&2}={}\)\(\matrix{-13&-4\\-10&-6}\)

Als voorbeeld berekenen we het matrixelement met index \(\rv{1,2}\), dat wil zeggen: op de eerste rij en tweede kolom. Daartoe berekenen we het inproduct van de hieronder magentagekleurde rij- en kolomvector, de eerste rij in de eerste factor en de tweede kolom in de tweede factor van het matrixproduct:
\[\begin{aligned}
\left[\matrix{\color{magenta}{-5}&\color{magenta}{-2}\\2&-3}\cdot\matrix{1&\color{magenta}{0}\\4&\color{magenta}{2}}\right]_{12} &=\matrix{\color{magenta}{-5}\\\color{magenta}{-2}}\boldsymbol{\cdot}\matrix{\color{magenta}{0}\\\color{magenta}{2}}\\ \\
&= -5 \cdot 0 -2 \cdot 2\\\\ &=-4\tiny{.}
\end{aligned}\] Op dezelfde manier kunnen de overige elementen van de productmatrix berekend worden.
\[\begin{aligned}
\matrix{-5&-2\\2&-3}\cdot \matrix{1&0\\4&2}&=\matrix{-5 \cdot 1 -2\cdot 4 & -5 \cdot 0 -2 \cdot 2\\2\cdot 1-3\cdot 4&2\cdot 0 -3 \cdot 2}\\ \\
&=\matrix{-13&-4\\-10&-6}\tiny{.}
\end{aligned}\]

Nieuw voorbeeld

Regels voor matrixvermenigvuldiging De meeste rekenregels die we al kennen voor de vermenigvuldiging van getallen gelden ook voor matrixvermenigvuldiging, als de afmetingen van de matrices tenminste zodanig zijn dat de vermenigvuldigingen mogelijk zijn. We vermelden:
\[
\begin{array}{rcl}
A\,(B+C)&=& A\,B+A\,C \\
(\lambda A)\,B&=&\lambda (A\,B) \\
(A\,B)\,C&=&A\,(B\,C) \\
(A\,B)^{\top}&=&B^{\top}A^{\top} \end{array} \]

De eerste twee regels en de laatste regel volgen direct uit de definities.

Het bewijs van de derde regel met behulp van de definitie voor het product van matrices is veel vervelend schrijfwerk. Later, wanneer matrices met lineaire afbeeldingen geassocieerd worden, kunnen we een kort bewijs geven.

Op grond van de tweede regel kunnen we \(\lambda\, A\,B\) zonder haakjes schrijven; het maakt niet uit of we deze uitdrukking berekenen als \((\lambda\, A)\,B\) of als \(\lambda\,(A\,B)\). Net zo stelt de derde regel ons in staat in het vervolg te praten over \(A\,B\,C\); de volgorde waarin matrixproducten worden uitgerekend doet er niet toe.