Herleiden tot een basisvorm

Stelsels lineaire vergelijkingen en matrices: Lineaire vergelijkingen

Herleiden tot een basisvorm

We bespreken hier een systematische methode om een lineaire vergelijking tot een basisvorm te herleiden.

Herleiding Herleiding van een lineaire vergelijking bestaat uit het stapsgewijs vereenvoudigen van de vergelijking door

op het linker en rechter lid dezelfde operatie los te laten (bijvoorbeeld: aan beide zijden dezelfde term aftrekken of door dezelfde constante ongelijk $0$ delen)
gelijksoortige termen samen te brengen
haakjes weg te werken

Deze operaties voeren we uit met de bedoeling om op een eenvoudige vergelijking uit te komen, zoals een basisvorm $a_1\cdot x_1 + \cdots + a_n\cdot x_n + b = 0$ met onbekenden $x_1,\ldots,x_n$ en getallen $a_1,\ldots,a_n,b$ .

Met andere woorden, een lineaire vergelijking kan herleid worden door alle termen naar links te brengen, haakjes weg te werken, gelijksoortige termen bij elkaar op te tellen, en desgewenst beide zijden te delen door een constante ongelijk aan nul.

De vergelijking $2x-y-1=x-2y-2$ is te herleiden tot de basisvorm $x+y+1=0$ .

Onderstaande voorbeelden illustreren de systematische aanpak van herleiding.

Herleid de vergelijking $2x+4y+2=7x+6y+6$ tot een basisvorm.

Een mogelijke basisvorm: $-5x-2y-4=0$

Dit volgt uit onderstaande herleiding.
$\begin{array}{rclcl} 2x+4y+2&=& 7x+6y+6 &\phantom{x}&\color{blue}{\text{de gegeven vergelijking}}\\2x+4y+2- 7x &=& 7x+6y+6 - 7x &\phantom{x}&\color{blue}{\text{aan beide kanten }7x\text{ afgetrokken}}\\-5x+4y+2 &=& 6y+6 &\phantom{x}&\color{blue}{\text{vereenvoudigd}}\\ -5x+4y+2- 6y &=& 6y+6 - 6y &\phantom{x}&\color{blue}{\text{aan beide kanten }6y\text{ afgetrokken}}\\-5x-2y+2 &=& 6 &\phantom{x}&\color{blue}{\text{vereenvoudigd}}\\-5x -2y+2-6 &=& 6 -6&\phantom{x}&\color{blue}{\text{aan beide kanten } 6\text{ afgetrokken}}\\-5x-2y-4 &=& 0&\phantom{x}&\color{blue}{\text{vereenvoudigd}}\end{array}$ Dus een basisvorm van de lineaire vergelijking is $-5x-2y-4=0$ .

Een andere basisvorm krijg je bijvoorbeeld door aan beide kanten van de zojuist verkregen basisvorm door $-5$ te delen, met als resultaat $x+{{2\cdot y}\over{5}}+{{4}\over{5}}=0$ .

Nieuw voorbeeld