In dit hoofdstuk hebben we eigenschappen van vooral vierkante matrices #A# leren kennen die helpen om de bijbehorende lineaire afbeelding #L# te beschrijven. Omdat de rang, determinant, karakteristieke veelterm en minimumveelterm van #A# gelijk zijn aan die van elke geconjugeerde van #A#, hangen deze grootheden en veeltermen niet af van de matrix die #L# beschrijft (en dus niet van de gekozen basis voor de onderliggende vectorruimte).

Deze grootheden en veeltermen zullen helpen bij het vinden van een speciale matrix, die de belangrijkste eigenschappen van #L# meteen blootgeeft. Voor de meeste lineaire afbeeldingen is dat de zogenaamde diagonaalvorm, maar voor de uitzonderingen is er de Jordannormaalvorm; beide worden in het hoofdstuk Invariante deelruimten van lineaire afbeeldingen behandeld.

Determinanten waren populair speelgoed bij de wiskundigen uit de negentiende eeuw. De naam determinant is afkomstig van de Franse wiskundige Augustin-Louis Cauchy (1789-1846). Allerlei identiteiten tussen determinanten werden opgespoord.

De regel van Cramer gaat terug op Gabriel Cramer (1704-1752), al gaf Cramer zelf geen bewijs van de naar hem genoemde formule. Tegenwoordig is het belang van determinanten in uiteenlopende wiskundige takken overduidelijk. In de Calculus komen determinanten bijvoorbeeld voor bij de substitutieregel voor meervoudige integralen. Bij overgang op nieuwe variabelen in een dubbelintegraal bijvoorbeeld verschijnt in de nieuwe integraal een #(2\times 2)#-determinant; bij de overgang op poolcoördinaten #x=r\cos( \phi)#, #y=r\sin(\phi)# ziet dit er aldus uit:
\[
\begin{array}{rcl}
\int\int f(x,y)\, \dd x\, \dd y & =& \int\int f(r\cos (\phi), r\sin (\phi))
\left|\begin{array}{cc}
\cos (\phi) & \sin(\phi) \\ -r \sin(\phi) & r\cos (\phi) \\
\end{array}\right| \, \dd r\, \dd\phi\\
&=&\int\int f(r\cos (\phi), r\sin (\phi)) r \, \dd r\, \dd\phi
\end{array}
\] De voor de definitie van determinant gebruikte permutaties zijn handig bij het beschrijven van allerlei symmetrieën, zoals de 48 symmetrieën van de kubus. Het bewijs dat er geen algemene formules bestaan om de wortels van veeltermen van graad minstens 5 te bepalen, maakt ook essentieel gebruik van de theorie van permutaties.

Determinantfuncties zijn bijzondere gevallen van zekere multilineaire expressies, ook wel tensoren genaamd. Bepaalde alternerende multilineaire vormen spelen een rol bij de integraalstellingen van Gauss, Green en Stokes.