Eerder hebben we gezien dat een lineaire afbeelding #L:V\to V#, waarbij #V# een eindigdimensionale vectorruimte is, bepaald wordt door een vierkante matrix. Zo'n matrix ligt uniek vast na keuze van een basis #\alpha# voor #V#. Om eigenschappen van zo'n lineaire afbeelding vast te leggen met behulp van de matrix #L_\alpha#, moeten we dus kijken naar functies op vierkante matrices die niet van de basiskeuze afhangen, dat wil zeggen: die dezelfde waarde opleveren als we met #L_\beta# werken in plaats van #L_\alpha# voor elke andere basis #\beta# van #V#. De rang is zo'n functie, maar het begrip karakteristieke veelterm leidt tot meerdere functies, zoals we later zullen zien.
Laat # A# een #(n\times n)#-matrix zijn. Dan is \[\det (A-x I_n)\] een veelterm in #x# van graad #n#. Deze veelterm heet de karakteristieke veelterm van #A# en geven we wel aan met #p_A(x)#.
Geef met #a_{ij}# het #(i,j)#-element van #A# aan.
- De leidende coëfficiënt van deze veelterm is #(-1)^n#.
- De coëfficiënt van #x^{n-1}# is gelijk aan #(-1)^{n-1}(a_{11}+a_{22}+\cdots +a_{nn})#.
- De constante term is gelijk aan #\det(A)#.
De som # a_{11}+a_{22}+\cdots +a_{nn}# van de diagonaalelementen van #A# heet het spoor van de matrix en wordt vaak aangegeven met #\text{tr}(A) #.
De karakteristieke veelterm is de determinant
\[
\left|\,\begin{array}{cccc}
a_{11}-x & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22}-x & & \vdots \\
\vdots & & \ddots & \vdots\\
a_{n1} & \cdots & \cdots & a_{nn}-x
\end{array}\,\right|
\] Deze determinant is de som van #n!# termen en iedere term bestaat uit een product van #n# matrixelementen die zo gekozen worden dat uit iedere rij en iedere kolom precies één element afkomstig is. Iedere term in deze som is dus een veelterm in #x# van graad hoogstens #n#. Eén van de termen is:
\[
\begin{array}{l}
(a_{11}-x)(a_{22}-x)\cdots (a_{nn}-x) \\
\quad \quad= (-1)^nx^n+(-1)^{n-1}(a_{11}+a_{22}+\cdots +a_{nn})x^{n-1}+\cdots
\end{array}
\]Deze term correspondeert met de identieke permutatie van #\{1,\ldots,n\}#. Ieder van de overige termen bevat een factor #a_{ij}# met #i\neq j#. In zo'n term komen de factoren #(a_{ii}-x)# en #(a_{jj}-x)# niet voor, omdat deze in dezelfde rij respectievelijk kolom staan als #a_{ij}#. In plaats daarvan komen factoren voor die elementen van #A# buiten de diagonaal zijn, zodat zo'n term een veelterm van graad hoogstens #n-2# is. De karakteristieke veelterm is dus een veelterm van graad #n# van de gedaante
\[
(-1)^nx^n+(-1)^{n-1}(a_{11}+a_{22}+\cdots +a_{nn})x^{n-1}+\cdots +c_1x +c_0
\]
Dit laat zien dat de leidende coëfficiënt en de coëfficiënt van #x^{n-1}# zijn zoals vermeld. De constante term #c_0# vinden we door #x =0# in te vullen. Dan wordt de veelterm #\det (A-x I_n)# gelijk aan #c_0 =\det(A)#.
De karakteristieke veelterm van een #(2\times2)#-matrix #A# is gelijk aan #x^2-\text{tr}(A)x+\det(A)#, en is dus volledig bepaald door spoor en determinant.
De notatie #\text{tr}(A)# voor het spoor van #A# verwijst naar het Engelse woord trace.
De betekenis van deze karakteristieke veelterm is dat ze veel belangrijke eigenschappen van de bij #A# behorende lineaire afbeelding helpt bepalen, zoals welke vectoren in een scalair veelvoud van zichzelf overgevoerd worden.
De oplossingen van de vergelijking die ontstaat door de karakteristieke veelterm gelijk aan #0# te stellen, zijn een sleutel tot het bepalen van een eenvoudige matrixvorm van de lineaire afbeelding bepaald door #A#. We zullen ze later tegenkomen onder de naam eigenwaarden.
De veeltermvergelijking \[\det(A-x I_n) = 0\] met onbekende #x# heet de karakteristieke vergelijking van #A#.
- Het spoor van #A# is de som van de complexe wortels van de karakteristieke vergelijking.
- De determinant van #A# is het product van de complexe wortels van de karakteristieke vergelijking.
Laat #x_1,\ldots,x_n# de #n# (complexe) wortels van de karakteristieke vergelijking zijn. Dan is de karakteristieke veelterm te schrijven als \[ \begin{array}{rcl}\det(A-x\cdot I_n) &=& (-1)^n(x-x_1)(x-x_2)\cdots (x-x_n)\\ &=& (-1)^nx^n+(-1)^{n-1}(x_1+x_2+\cdots+ x_n)x^{n-1}+\cdots +x_1x_2\cdots {}x_n \end{array} \]
- Vergelijking van de coëfficiënt van #x^{n-1}# in deze uitdrukking en de bovenstaande formule voor de karakteristieke veelterm laat zien dat #x_1+x_2+\cdots+x_n# het spoor van #A# is.
- Vergelijking van de constante term #x_1x_2\cdots {}x_n # met de constante term in bovenstaande formule voor de karakteristieke veelterm laat zien dat #x_1x_2\cdots{} x_n# de determinant van #A# is.
Zoals we hierboven konden zien, is de karakteristieke veelterm van \[A=\matrix{a&b\\ c&d}\] gelijk aan \[x^2-\text{tr}(A)x+\det(A)=x^2-(a+d)x+(a\cdot d - b\cdot c)\] De abc-formule geeft de oplossingen van de karakteristieke vergelijking \[x_1 = \dfrac{a+d-\sqrt{(a-d)^2+4bc}}{2}\phantom{x}\text{ en }\phantom{x} x_2 = \dfrac{a+d+\sqrt{(a-d)^2+4bc}}{2}\] We zien dat, inderdaad, \[\begin{array}{rcl} x_1+x_2 &=& a+d=\text{tr}(A)\\ x_1\cdot x_2 &=& \dfrac{(a+d)^2-(a-d)^2-4bc}{4} =ad-bc = \det(A)\end{array}\] We gaan de drie gevallen na voor de oplossingen van een kwadratische vergelijking aan de hand van de discriminant #(a-d)^2+4bc#.
- Als de discriminant positief is, zijn er twee verschillende reële wortels. Een voorbeeld is de diagonaalmatrix\[A = \matrix{a&0\\ 0&d}\] in welk geval de karakteristieke veelterm #(x-a)\cdot(x-d)# is, zodat de elementen #a# en #d# op de diagonaal de wortels van de karakteristieke vergelijking zijn.
- Als de discriminant gelijk aan #0# is, dan vallen de wortels samen. We tellen deze wortel dan dubbel. Een voorbeeld is \[A = \matrix{0&b\\ 0&0}\]De karakteristieke vergelijking is dan #x^2=0#, zodat de wortels beide gelijk aan #0# zijn. Als we #b\ne0# kiezen, dan is #A# ongelijk aan de nulmatrix, terwijl de karakteristieke veelterm niet van die van de nulmatrix verschilt.
- Als de discriminant #(a-d)^2+4bc# van de kwadratische vergelijking in #x# negatief is, dan zijn de oplossingen complex. Bijvoorbeeld, de matrix van een draaiing over #\varphi# om de oorsprong in #\mathbb{R}^2# is \[A = \matrix{\cos(\varphi)&-\sin(\varphi)\\\sin(\varphi)&\cos(\varphi)}\]De discriminant is hier gelijk aan #-4\sin^2(\varphi)# en de oplossingen van de karakteristieke veelterm zijn complex:\[x_1 =\cos(\varphi)-\sin(\varphi)\ii\quad\text{en}\quad x_2 =\cos(\varphi)+\sin(\varphi)\ii\]
Omdat de determinant van een driehoeksmatrix gelijk is aan het product van de diagonaalelementen, vormen deze diagonaalelementen de unieke oplossingen van de bijbehorende karakteristieke vergelijking. Immers, als #A# een #(n\times n)#-driehoeksmatrix is, dan is #A-xI_n# dat ook, zodat de karakteristieke vergelijking gelijk is aan \[(a_{11}-x)(a_{22}-x)\cdots (a_{nn}-x)=0\] waarin #a_{11},\ldots,a_{nn}# de diagonaalelementen van #A# zijn. Er is dan en slechts dan aan de karakteristieke vergelijking voldaan als #x# gelijk is aan één van de diagonaalelementen.
Volgens de eerste stelling uit Determinanten van enkele speciale matrices is de determinant van een vierkante matrix van de vorm \[M = \matrix{A&C\\ 0&B}\] waarbij #A# en #B# vierkante deelmatrices zijn en #C# een willekeurige deelmatrix van passende afmetingen, gelijk aan: \[\det(M)=\det(A)\cdot\det(B)\]Als #M# een #(n\times n)#-matrix is, #A# een #(m\times m)#-matrix en #B# een #(k\times k)#-matrix, dan is de karakteristieke veelterm van #M# dus\[\det(M-xI_n)=\det(A-xI_m)\cdot\det(B-xI_k)\]De oplossingen van de karakteristieke vergelijking van #M# zijn dus gelijk aan de som van de oplossingen van de karakteristieke vergelijkingen van #A# en #B#.
De waarde #x=0# is dan en slechts dan een oplossing van de karakteristieke vergelijking #\det(A-xI_n)=0# als #\det(A)=0#. Voor #n=2# is de andere oplossing dan gelijk aan #x=\text{tr}(A)#. Bijvoorbeeld, de oplossingen van de karakteristieke vergelijking van de matrix \[A=\matrix{1&2\\2&4}\] zijn #x=0# en #x=5#.
Bepaal de karakteristieke veelterm van \[A =\matrix{-2 & -7 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ -1 & -7 & -1 \\ }\]
\(p_A(x) = \) \(-x^3+2 x^2+13 x+10\)
We berekenen de karakteristieke veelterm aan de hand van de definitie:
\[\begin{array}{rcl}
p_A(x) &=&\det(A-x\,I_3)\\&=& \left|\begin{array}{ccc}-x-2 & -7 & 0 \\ 0 & 5-x & 0 \\ -1 & -7 & -x-1
\end{array}\right| \\ &=& -x^3+2 x^2+13 x+10
\end{array}
\]
Karakteristieke veelterm van een matrix
