In elke inproductruimte heeft elk punt op elke eindigdimensionale deelruimte een uniek punt dat het dichtst bij ligt. Het unieke punt is de loodrechte projectie van op . Deze resultaten gelden ook in het algemenere geval waarin een affiene deelruimte is.
Laat een eindigdimensionale affiene deelruimte zijn van een inproductruimte en een vector van . Dan bestaat er een unieke vector in zodanig dat loodrecht staat op .
Deze vector heet de loodrechte projectie van op , en wordt genoteerd met .
De uitspraak dat loodrecht staat op de deelruimte betekent dat voor alle in , waarbij de richtingsruimte van is.
Het begrip orthogonale projectie is gevisualiseerd in onderstaande figuur. In dit specifieke geval kijken we naar een -dimensionale lineaire deelruimte van weergegeven door het donkere vlak. De vectoren en zijn als in de definitie.
3d plaatje
Hier is de gestippelde vector, die loodrecht staat op .
We bewijzen de stelling eerst voor het geval waarin een lineaire deelruimte van is. Volgens de stelling van Gram-Schmidt heeft iedere eindigdimensionale deelruimte een orthonormale basis. Laat zo'n basis voor zijn. Omdat een loodrechte projectie een vector in is, kunnen we een dergelijke projectie schrijven als lineaire combinatie voor zekere scalairen . De eis dat loodrecht op staat, betekent dat voor elke met ,
Gebruik makend van de orthonormaliteit van de basis en de lineariteit van het inproduct kunnen we deze vergelijking in uitwerken tot . Bijgevolg is de vector uniek bepaald door de eis dat loodrecht op staat. Bovendien behoort deze vector tot en ligt in . Er is dus precies één orthogonale projectie van op . Hiermee is de stelling bewezen in het geval dat een lineaire deelruimte is.
Stel nu dat een affiene deelruimte is van . Dan zijn er een steunvector en een richtingsruimte zo dat . De vector is dan een loodrechte projectie van op want
- behoort tot dus de vector behoort tot ;
- de vector is gelijk aan en staat dus loodrecht op vanwege de stelling voor de lineaire deelruimte toegepast op de vector .
Rest nog te bewijzen dat uniek is. Stel dat een orthogonale projectie is van op . Dan is de projectie van op , dus (vanwege de stelling voor de lineaire deelruimte ) gelijk aan . De laatste vector is gelijk aan , zodat . We concluderen dat , waarmee aangetoond is dat de unieke orthogonale projectie van op is.
In veel optimalisatieproblemen speelt het berekenen van de minimale afstand van een vector tot een affiene deelruimte van een belangrijke rol.
Als de affiene deelruimte oneindige dimensie heeft, hoeft er geen loodrechte projectie te bestaan. Laat, om dit in te zien, de inproductruimte zijn van alle veeltermen in met het inproduct waarvoor een orthonormale basis is (zodat , waarbij als en anders). Neem verder voor de constante veelterm en voor de lineaire deelruimte van bestaande uit alle veeltermen die de waarde hebben voor . De deelruimte heeft als basis Als dus een orthogonale projectie op is van , dan geldt waarbij een zeker natuurlijk getal is en reële getallen zijn die voldoen aan
Omdat staat niet loodrecht op , zodat . We kunnen dus aannemen dat .
We werken het linker lid van bovenstaande vergelijking verder uit voor waarbij :
Bekijk nu eerst waarden van met . Omdat dan en omdat bovenstaand inproduct gelijk moet zijn aan , volgt . Dat heeft tot gevolg dat de vergelijking voor te herschrijven is tot , wat de aanname tegenspreekt. Hiermee hebben we aangetoond dat er geen vector bestaat waarvoor loodrecht staat op . Er is dus geen loodrechte projectie van op .
Hier volgen enkele nuttige eigenschappen van de loodrechte projectie op een affiene deelruimte.
Laat een inproductruimte zijn met affiene deelruimte voor een vector en een lineaire deelruimte van . Stel dat een orthonormale basis van is voor een natuurlijk getal . De loodrechte projectie van een vector van op heeft de volgende eigenschappen:
- staat loodrecht op iedere vector uit .
- De loodrechte projectie wordt gegeven door
- De afstand van tot een vector uit is minimaal voor de loodrechte projectie op :
- De loodrechte projectie is de unieke vector waarvoor dit minimum optreedt.
- met gelijkheid dan en slechts dan als .
- Er geldt dan en slechts dan als in zit.
De afstand tussen en wordt gedefinieerd door als in uitspraak 3.
Als een lineaire deelruimte is, dan kunnen we en nemen. Voor een eerste lezing van de stelling is het handig om dit speciale geval in gedachten te houden. Het algemene geval volgt hier eenvoudig uit na aftrekking van van de affiene deelruimte en de vector .
1. De eerste uitspraak is slechts een herhaling van de definitie.
2. De tweede uitspraak volgt uit het bewijs van de vorige stelling.
3. Voor een goede intuïtie bij het bewijs van de derde uitspraak is de volgende afbeelding nuttig.
3d plaatje
Laat een vector in zijn. We vergelijken met . Daartoe schrijven we . Omdat en tot de affiene deelruimte behoren, ligt het verschil in . Deze vector staat loodrecht op per definitie van de orthogonale projectie. We kunnen daarom de stelling van Pythagoras toepassen:
Herschrijving hiervan geeft
zodat . Omdat lengtes niet-negatief zijn, concluderen we dat
Gelijkheid treedt dan en slechts dan op als , wat betekent dat gelijk moet zijn aan .
4. De laatste zin van het bewijs van de derde uitspraak bewijst meteen de vierde uitspraak.
5. De vijfde uitspraak volgt net als de derde uit de stelling van Pythagoras: We weten dat tot behoort, en dus loodrecht staat op . Er geldt dus
waaruit de uitspraak onmiddellijk volgt.
6. De implicatie van links naar rechts in de zesde uitspraak volgt uit het feit dat de projectie per definitie in zit, dus zit in als .
De implicatie van rechts naar links is in te zien door de vierde uitspraak te gebruiken en op te merken dat de afstand tussen en gelijk is aan , en dit de unieke vector in is waarvoor dit geldt.
Volgens uitspraak 3 is de afstand tussen een vector en een affiene deelruimte gelijk aan de minimale afstand tussen en een punt in .
We zullen in de loodrechte projectie berekenen van de vector op de deelruimte opgespannen door de vector . Allereerst normaliseren we de vector om een orthonormale basis te krijgen. Omdat , levert dit levert de vector
De loodrechte projectie wordt nu gegeven door
De afstand van tot de deelruimte opgespannen door is dus gelijk aan de lengte van de verschilvector:
Bij de Gram-Schmidt procedure hebben we eigenlijk al gebruik gemaakt van de loodrechte projectie. Een aantal keren worden in die procedure vectoren genormaliseerd, maar de essentiële stap is
waarbij een orthonormale basis is. De vector is het verschil van en de projectie van op de lineaire deelruimte . Daarom ligt deze vector in het orthogonale complement van .
Laat een eindigdimensionale inproductruimte zijn. Een affiene deelruimte van dimensie van heet wel een hypervlak. Voor zo'n hypervlak is er op een scalaire factor ongelijk na precies één vector loodrecht op . Als gelijk is aan of , dan staat bekend als een normaalvector van . De coördinaten van de vector zijn de coëfficiënten van de coördinaat-variabelen in een lineaire vergelijking voor . De projectie van een vector is dan te bepalen door het snijpunt van met de lijn met parametervoorstelling te bepalen.
Bepaal in de loodrechte projectie van de vector op de deelruimte die wordt opgespannen door de vector .
Allereerst normaliseren we de vector om een orthonormale basis te krijgen. Omdat levert dit de vector
De loodrechte projectie wordt nu gegeven door
De afstand van tot de deelruimte is gelijk aan de lengte van de verschilvector van en de projectie :