*** NL versie google resultaat van UK versie Pas echt vertalen na afwerking van UK versie. ***
Het volgende resultaat maakt duidelijk dat een vector ten opzichte van een orthonormale basis van een oneindig-dimensionale inproductruimte in steeds grotere precisie met behulp van inproducten beschreven kan worden.
Stel dat #\basis{f_1,f_2,\ldots}# een orthonormaal systeem een inproductruimte #V# (eventueel complex ). Voor elke #f \in V#, convergeert de serie #\sum_{k=1}^{n} \left| f \cdot f_k \right|^2# voor #n\to\infty#. De limiet ervan voldoet aan
\[\begin{array}{rcl}\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\left| f \cdot f_k \right|^2 \leq \displaystyle\left|\left| f \right|\right|^2 \end{array}\]
We zullen stelling gebruiken Convergentie voor monotone sequenties . Aangezien alle voorwaarden #\left| f \cdot f_k \right|^2# van de serie niet negatief wordt de serie zwak verhogen. Dus, als we bewijzen dat de ongelijkheid \[\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\left| f \cdot f_k \right|^2 \leq \displaystyle\left|\left| f \right|\right|^2 \] voor elke #n#, dan zullen we hebben vastgesteld dat de serie is begrensd en de convergentie criterium kan worden toegepast. Zo is het voor ons om deze ongelijkheid te bewijzen.
Beschouw de deelsom #s_n=\sum_{k=1}^n (f\cdot f_k) f_k#. Dan, voor #j\le n#, we hebben
\[\begin{array}{rcl}\displaystyle (f-s_n) \cdot f_j &=& f \cdot f_j - s_n \cdot f_j \\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{linearity of the inner product}}\\&=&\displaystyle f \cdot f_j - \left(\sum_{k=1}^n (f \cdot f_k) f_k \cdot f_j \right) \\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{definition of }s_n}\\&=& \displaystyle f \cdot f_j - \sum_{k=1}^n (f \cdot f_k) (f_k \cdot f_j) \\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{linearity of the inner product}}\\&=& \displaystyle\displaystyle f \cdot f_j - f \cdot f_j \\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{orthonormality of }f_1,f_2,\ldots}\\ &=&0 \end{array}\]
Dit betekent dat #f-s_n# is loodrecht op elkaar #f_j# voor #j\le n#. Aangezien #s_n# een lineaire combinatie van #f_1,f_2,\ldots,f_n#, impliceert #(f - s_n) \cdot s_n = 0#. Tegen de stelling van Pythagoras , dit geeft de gelijkheid \[ \begin{array}\displaystyle \left|\left| f \right|\right|^2=\left|\left| f - s_n + s_n \right|\right|^2= \left|\left| f - s_n\right|\right|^2 +\left|\left| s_n \right|\right|^2 \end{array} \]
Met name,
\[ \begin{array}{rcl}\displaystyle {\parallel s_n \parallel}^2\ \leq \ {\parallel f \parallel}^2 \end{array} \]
We sluiten af door het gebruik van eigenschappen van orthogonale systemen (of het complex versie daarvan )
\[\begin{array}{rcl}\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\left| f \cdot f_k \right|^2 &=& {\big\Vert\sum_{k=1}^{n} (f \cdot f_k )\cdot f_k\big\Vert}^2 \\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{Pythagorean theorem}}\\ &=& {\parallel s_n\parallel}^2 \\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{definition }s_n}\\ & \leq &\left|\left| f \right|\right|^2 \\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{the above inequality}} \end{array}\]
Dit geldt voor elke #n#, en zo de voorwaarden van de convergentie van monotone reeksen voldaan. De stelling volgt nu uit de toepassing van deze stelling.
Als we vragen over het oneindige te negeren, kunnen we de gelijkheid zien \[f = \sum_{k=1}^{\infty} (\dotprod{f}{f_k})\cdot f_k\] als een voorbeeld van de stelling van Pythagoras. De rechterzijde hoeft echter geen vector representeren #V#. Een voorbeeld blijkt dat het niet nodig tot #V# het inproductruimte #P# alle polynomen op #\mathbb{R}# het inproduct dat maakt #\basis{1,x,x^2,\ldots}# orthonormale. De exponentiële functie \[\ee^x = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} x^k\] bekend is dat een polynomiale functie, en dus niet tot #P#, hoewel elke eindige som #\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} x^k# doet.
Beschouw de inproductruimte #V# van stuksgewijze gladde reële functies op \(\ivcc{-\pi}{\pi}\) met inproduct gegeven \[\dotprod{f}{g}=\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cdot g(x)\,\dd x\] Systeem \[\basis{1,\sin( x),\cos( x),\sin(2\, x),\cos(2\, x),\ldots}\] orthonormaal. De overeenkomstige coëfficiënten #\dotprod{f(x)}{\cos(n\, x)}# en #\dotprod{f(x)}{\sin(n\, x)}# de zogenaamde Fourier coëfficiënten van #f#. Deze worden intensief bestudeerd in Fourier theorie. In het complex versie, is de orthonormale basis vervangen door #\ee^{\complexi \, n x}# voor #n=0,1,2,\ldots#
De ongelijkheid van Bessel
