Om vectorruimten onderling te kunnen vergelijken gebruiken we afbeeldingen tussen vectorruimten die de vectorruimtestructuur respecteren, de zogenaamde lineaire afbeeldingen. We beginnen met de definitie van een afbeelding.
Laat #X# en #Y# twee (mogelijk dezelfde) verzamelingen zijn. Een afbeelding #G:X\rightarrow Y# voegt aan elk element #x# van #X# precies één element #G(x)#, soms ook genoteerd als #Gx#, van #Y# toe. Een expliciete uitdrukking voor #G(x)# heet ook wel het afbeeldingsvoorschrift. Naar het element #G(x)# verwijzen we als het beeld van #x# onder #G#. De verzameling #X# heet het domein en #Y# heet het codomein van #G#. Voor een element #y# van #Y#, is het (volledig) origineel of inverse beeld van #y# onder #G# is de verzameling van alle elementen #x# van #X# die voldoen aan #G(x) = y#.
Een afbeelding #G# met domein #X# en codomein #Y#, kan worden gespecificeerd door #x\mapsto G(x)#, waarbij #G(x)# vervangen wordt door een afbeeldingsvoorschrift.
Voor elke vectorruimte #V# is de afbeelding #I: V \rightarrow V# gegeven door #I(\vec{v}) =\vec{v}# een afbeelding, de zogenaamde identieke afbeelding of identiteit op #V#. Als we de vectorruimte #V# expliciet willen aangeven, dan schrijven we ook wel #I_V# in plaats van #I#.
Zijn #V# en #W# beide vectorruimten, dan is de afbeelding #O: V \rightarrow W# gegeven door #O(\vec{v})=\vec{0}# een afbeelding, de zogenaamde nulafbeelding. We geven deze afbeelding vaak aan met #0# en soms ook met #0_V#.
Als #X = Y=\mathbb{R}#, dan is een afbeelding #X\to Y# niet anders dan een reële functie.
Differentiëren van veeltermen in #x# kunnen we zien als de afbeelding #P\to P# bepaald door #p(x)\mapsto \dfrac{\dd}{\dd x}p(x)#.
Laat #V# en #W# twee (mogelijk dezelfde) vectorruimten zijn. Een afbeelding #L:V\rightarrow W# heet lineair als voor alle vectoren #\vec{x},\vec{y}\in V# en alle getallen #\alpha# geldt
\[
\begin{array}{rclr}L (\vec{x}+\vec{y})&=&L\vec{x}+L\vec{y}&\phantom{xx}\color{blue}{\text{somregel}}\\
L (\alpha \vec{x})&=&\alpha( L\vec{x})&\phantom{xx}\color{blue}{\text{scalaire regel}}
\end{array}
\]
Als #V# en #W# willekeurige vectorruimten zijn, dan zijn de identieke afbeelding #I_V# en de nulafbeelding #O:V\to W# lineaire afbeeldingen.
Als #V = \mathbb{R}#, dan is vermenigvuldiging met #7# (of met een willekeurig ander getal) een lineaire afbeelding #V\to V#. Vermenigvuldiging met #0# is de nulafbeelding en vermenigvuldiging met #1# is de identieke afbeelding.
Een equivalente definitie van lineariteit voor #L# is: voor alle #\vec{x},\vec{y}\in V# en alle getallen #\alpha#, #\beta# geldt
\[
L (\alpha \vec{x}+\beta\vec{y})=\alpha L\vec{x}+\beta L\vec{y}
\]
De uitdrukking #\alpha L\vec{x}# kan op twee manieren geïnterpreteerd worden door haakjes te plaatsen:
- #\alpha(L\vec{x})#: het scalaire product van de vector #L\vec{x}# met #\alpha#
- #(\alpha L)\vec{x}#: het beeld van de vector #\vec{x}# onder de afbeelding #\alpha L# gedefinieerd door #(\alpha L)\vec{x} =\alpha (L\vec{x})#
De tweede interpretatie gebruikt de eerste uitdrukking. De betekenis van #\alpha L\vec{x}# hangt dus niet af van de manier waarop er haakjes geplaatst worden in deze uitdrukking.
Een bijectieve lineaire afbeelding heet ook wel een isomorfisme. We zullen later ingaan op het begrip bijectief, dat overigens voor elke afbeelding gedefinieerd is. Als zo'n isomorfisme #L:V\rightarrow W# bestaat, dan heten #V# en #W# isomorf. Twee isomorfe vectorruimten zijn in wezen gelijk. Hiermee bedoelen we dat de namen van vectoren en dergelijke kunnen verschillen, maar dat de ene vectorruimte na toepassing van de bijectieve afbeelding (lees: de naamsverandering) identiek wordt aan de andere.
We zullen later zien dat elke reële eindigdimensionale vectorruimte van dimensie #n# isomorf is met een coördinaatruimte. Dit betekent dat die vectorruimte na geschikte vertaling gezien kan worden als #\mathbb{R}^n#.
Door herhaald toepassen van de definitie zien we dat het beeld van een lineaire combinatie dezelfde lineaire combinatie van de beeldvectoren is:
Een afbeelding #L:V\rightarrow W# is lineair dan en slechts dan als, voor alle natuurlijke getallen #n#, alle vectoren #\vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_n# in #V# en alle getallen #\alpha_1,\ldots ,\alpha_n#,
\[
L \left(\,\sum_{i=1}^n\alpha_i\vec{x}_i\,\right)=\sum_{i=1}^n\alpha_iL\vec{x}_i
\]
Als #n=1#, dan zegt de gelijkheid #L \alpha_1\vec{x}_1=\alpha_1L\vec{x}_1#. Dit is de tweede regel in de definitie van lineaire afbeelding.
Als #n=2#, dan zegt de gelijkheid \[L (\alpha_1\vec{x}_1+\alpha_2\vec{x}_2)=\alpha_1L\vec{x}_1+\alpha_2L\vec{x}_2\]
Dit komt, na hernoeming van de variabelen, neer op de tweede interpretatie in de definitie van lineaire afbeelding.
Dus, als de gelijkheid in de uitspraak geldt voor alle natuurlijke getallen #n#, dan is #L# lineair.
Stel nu dat #L# een lineaire afbeelding is. Dan geldt, zoals we hierboven zagen, de gelijkheid voor #n=1# en #n=2#. Om het bewijs af te maken, laten we met volledige inductie naar #n# nog zien dat de gelijkheid geldt voor alle gehele #n\ge 1#. Laat daartoe #n\gt 2#. Dan volgt
\[\begin{array}{rcl} L \left(\,\sum_{i=1}^n\alpha_i\vec{x}_i\,\right)&=& L \left(\sum_{i=1}^{n-1}\alpha_i\vec{x}_i+\alpha_n\vec{x}_n\right)\\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{termen herschikt}}\\ &=& L \left(\,\sum_{i=1}^{n-1}\alpha_i\vec{x}_i\right)+L\left(\alpha_n\vec{x}_n\right)\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{somregel}}\\&=&\sum_{i=1}^{n-1}\alpha_iL\vec{x}_i+\alpha_nL\vec{x}_n\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{inductiehypothese en scalaire regel}}\\ &=& \sum_{i=1}^{n}\alpha_iL\vec{x}_i\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{termen herschikt}}\end{array}\]
Lineaire afbeeldingen komen in de praktijk bijzonder veel voor, ook al worden ze niet altijd direct als zodanig herkend. Onderstaande voorbeelden kunnen dat illustreren.
Differentiëren is een lineaire afbeelding.
De
somregel en scalaire regel zijn elementaire eigenschappen van de afgeleide, die we aangeven met #D(f)# voor een differentieerbare functie #f#:
\[
\begin{array}{rcl}
D(f+g) & =&D(f)+D(g) \\
D(\alpha\cdot f) & =&\alpha\cdot D(f)
\end{array}
\]
Het begrip lineaire afbeelding
