Een expliciete beschrijving van #\ker{L}# is te vinden door het oplossen van een homogeen stelsel lineaire vergelijkingen. Dit is niet zo eenvoudig als bij #\im{L}#. Wel is de dimensie van #\ker{L}# snel te vinden dankzij het volgende belangrijke resultaat:
Als # L :V\rightarrow W# een lineaire afbeelding is met #\dim{V}\lt \infty#, dan is
\[
\dim{V}=\dim{\ker{L}}+\dim{\im{L}}
\]
Schrijf #n=\dim{V}# en #p=\dim{\ker{L}}#. Omdat #\ker{L}\subseteq V#, geldt #p\leq n#.
Kies een basis #\basis{\vec{a}_1,\ldots ,\vec{a}_p}# voor #\ker{L}# en vul die aan met #\vec{b}_{p+1},\ldots ,\vec{b}_n# tot een basis voor #V#:
\[
V=\linspan {\vec{a}_1,\ldots ,\vec{a}_p,\ \vec{b}_{p+1},\ldots ,\vec{b}_n}
\] Omdat # L \vec{a}_1=\cdots= L \vec{a}_p=\vec{0}#, volgt uit Beeld als opspansel
\[\begin{array}{rcl}
\im{L}&=&\linspan{ L \vec{a}_1,\ldots , L \vec{a}_p, L \vec{b}_{p+1},\ldots , L \vec{b}_n} \\
&=&\linspan{ L \vec{b}_{p+1},\ldots , L \vec{b}_n} \end{array}
\] Als we kunnen aantonen dat de vectoren # L \vec{b}_{p+1},\ldots , L \vec{b}_n# lineair onafhankelijk zijn, dan zijn we klaar, want dan is #\dim{\im{L}}=n-p#, zodat
\[n=\dim{V}=p+(n-p)=\dim{\ker{L}}+\dim{\im{L}}\] Om de onafhankelijkheid aan te tonen, zoeken we naar oplossingen voor #\alpha_{p+1},\ldots,\alpha_n# van de vergelijking
\[
\alpha_{p+1}\cdot L \vec{b}_{p+1}+\cdots +\alpha_n\cdot L \vec{b}_n=\vec{0}
\] We herleiden de vergelijking tot een vergelijking zonder #L# in de volgende stappen:
\[\begin{array}{rcl}
L (\alpha_{p+1}\vec{b}_{p+1}+\cdots +\alpha_n\vec{b}_n)&=&\vec{0}
\\ \phantom{x}\color{blue}{\text{lineariteit van }L}&&\\
\alpha_{p+1}\vec{b}_{p+1}+\cdots +\alpha_n\vec{b}_n&\in&{\ker{L}}
\\ \phantom{x}\color{blue}{\text{definitie van }\ker{L}}&&\\
\alpha_{p+1}\vec{b}_{p+1}+\cdots
+\alpha_n\vec{b}_n&=&\alpha_1\vec{a}_1+\cdots+\alpha_p\vec{a}_p\\ &&\text{voor zekere getallen}\\ && \alpha_1,\ldots ,\alpha_p\\ \phantom{x}\color{blue}{\basis{\vec{a}_1,\ldots,\vec{a}_p}\text{ is een basis van }\ker{L}}&&\\
-\alpha_1\vec{a}_1-\cdots -\alpha_p\vec{a}_p+\alpha_{p+1}\vec{b}_{p+1}+\cdots
+\alpha_n\vec{b}_n&=&\vec{0}\\\phantom{x}\color{blue}{\text{alle termen naar links gebracht }}&&\\\end{array}
\] Omdat #\basis{\vec{a}_1,\ldots ,\vec{a}_p,\vec{b}_{p+1},\ldots ,\vec{b}_n}# een basis is, volgt hieruit dat de enige oplossing is \[\alpha_1=\cdots =\alpha_p=\alpha_{p+1}=\cdots =\alpha_n=0\] Volgens het Afhankelijkheidscriterium is het stelsel # L \vec{b}_{p+1},\ldots , L \vec{b}_n# daarom lineair onafhankelijk.
De beeldruimte van de loodrechte projectie #P_U# op een deelruimte #U# van de inproductruimte #\mathbb{R}^n# is uiteraard gelijk aan #U#, terwijl de nulruimte bestaat uit alle vectoren die loodrecht op #U# staan, dus gelijk is aan #U^{\perp}#. Bovenstaande dimensiestelling impliceert dus dat #n=\dim{U} + \dim{U^{\perp}}#. Deze formule vinden we terug in onderstaande stelling.
Uit de dimensiestelling volgen uitspraken over dimensies van deelruimten waar geen lineaire afbeelding in voorkomt.
We brengen in herinnering uit theorie Doorsnede en som van lineaire deelruimten dat, als #U# en #W# lineaire deelruimten zin van een vectorruimte #V#, de volgende twee deelverzamelingen van #V# ook lineaire deelruimten zijn:
- Het opspansel #\linspan{U\cup W}# van #U# en #W#. Omdat elk element hiervan geschreven kan worden als #u+w# voor zekere #u\in U# en #w\in W#, geven we deze lineaire deelruimte ook wel met #U+W# aan. Deze deelruimte omvat zowel #U# als #W# (en is de kleinste met die eigenschap).
- De doorsnee #U\cap W# van #U# en #W#. Deze deelruimte is zowel in #U# als in #W# bevat (en is de grootste met die eigenschap).
Laat #U# en #W# lineaire deelruimten van #\mathbb{R}^n# zijn en geef met #U^\perp# de deelruimte van #\mathbb{R}^n# aan die bestaat uit alle vectoren loodrecht op elke vector van #U# (met betrekking tot het standaard-inproduct op #\mathbb{R}^n#). Dan gelden de volgende twee gelijkheden tussen dimensies: \[ \begin{array}{rcl}n &=& \dim{U}+\dim{U^\perp}\\ \dim{U}+\dim{W} &=& \dim{U\cap W} + \dim{U+W}\end{array}\]
Bewijs van \(n = \dim{U}+\dim{U^\perp}\): Laat \(P_U\) de orthogonale projectie van #\mathbb{R}^n# op #U# zijn.
De kern van #P_U# bestaat uit het orthoplement #U^\perp# van #U# in #\mathbb{R}^n# en het beeld is #U#. Uit de dimensiestelling voor lineaire afbeeldingen volgt daarom \[n = \dim{\mathbb{R}^n}=\dim{\ker{P_U}}+\dim{\im{P_U}}=\dim{U^\perp}+\dim{U}
\]
Bewijs van \(\dim{U}+\dim{W} = \dim{U\cap W} + \dim{U+W}\): De zojuist bewezen uitspraak gebruiken we een aantal keren. We gebruiken de uitspraak ook voor een lineaire deelruimte #W# van \(\mathbb{R}^n\) in de volgende versie:
\[\dim{W} = \dim{W\cap U} + \dim{W\cap U^\perp}\]
Het bewijs hiervan loopt net als het bewijs hierboven met de beperking van #P_U# tot #W# in plaats van #P_U# zelf; het beeld van deze lineaire afbeelding is gelijk aan #U\cap W# en de kern is #U^\perp\cap W#.
We leiden nu de te bewijzen gelijkheid af:
\[\begin{array}{rcl} \dim{U}+\dim{W} &=&\dim{U\cap W}+\dim{U\cap W^\perp}+\dim{W}\\&&\phantom{x}\color{blue}{\dim{U} = \dim{U\cap W} + \dim{U\cap W^\perp}}\\ &=&\dim{U\cap W}+\dim{W^\perp}-\dim{U^\perp\cap W^\perp}+\dim{W}\\&&\phantom{x}\color{blue}{\dim{W^\perp} = \dim{W^\perp\cap U} + \dim{ W^\perp\cap U^\perp}}\\ &=&\dim{U\cap W}+\dim{ W^\perp}-\dim{(U+W)^\perp}+\dim{W}\\&&\phantom{x}\color{blue}{ U^\perp\cap W^\perp =\left(U+ W\right)^\perp}\\ &=&\dim{U\cap W}+n-\dim{ W}-n+\dim{U+ W}+\dim{W}\\ &&\phantom{x}\color{blue}{\dim{X^\perp} + \dim{X}=n}\\ &=&\dim{U\cap W}+\dim{U+W}\\ \end{array}
\]
Van een lineaire afbeelding #L:\mathbb{R}^{5}\to\mathbb{R}^{3}# is gegeven dat ze surjectief is.
Wat is de dimensie van de kern van #L#?
#\dim{\ker{L}}=# # 2#
Volgens de dimensiestelling geldt
\[\begin{array}{rcl} \dim{\ker{L}}&=&\dim{\mathbb{R}^{5}}- \dim{\im{L}}\\
&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{dimensiestelling}}\\
&=& 5- 3\\
&&\phantom{xx}\color{blue}{L\text{ is surjectief}}\\
&=& 2 \end{array} \]
Dimensiestelling voor lineaire afbeeldingen
