Schrijf $n=\dim{V}$ en $p=\dim{\ker{L}}$. Omdat $\ker{L}\subseteq V$, geldt $p\leq n$.

Kies een basis $\basis{\vec{a}_1,\ldots ,\vec{a}_p}$ voor $\ker{L}$ en vul die aan met $\vec{b}_{p+1},\ldots ,\vec{b}_n$ tot een basis voor $V$:
$$V=\linspan {\vec{a}_1,\ldots ,\vec{a}_p,\ \vec{b}_{p+1},\ldots ,\vec{b}_n}$$ Omdat $L \vec{a}_1=\cdots= L \vec{a}_p=\vec{0}$, volgt uit Beeld als opspansel
$$\begin{array}{rcl} \im{L}&=&\linspan{ L \vec{a}_1,\ldots , L \vec{a}_p, L \vec{b}_{p+1},\ldots , L \vec{b}_n} \\ &=&\linspan{ L \vec{b}_{p+1},\ldots , L \vec{b}_n} \end{array}$$ Als we kunnen aantonen dat de vectoren $L \vec{b}_{p+1},\ldots , L \vec{b}_n$ lineair onafhankelijk zijn, dan zijn we klaar, want dan is $\dim{\im{L}}=n-p$, zodat
$$n=\dim{V}=p+(n-p)=\dim{\ker{L}}+\dim{\im{L}}$$ Om de onafhankelijkheid aan te tonen, zoeken we naar oplossingen voor $\alpha_{p+1},\ldots,\alpha_n$ van de vergelijking
$$\alpha_{p+1}\cdot L \vec{b}_{p+1}+\cdots +\alpha_n\cdot L \vec{b}_n=\vec{0}$$ We herleiden de vergelijking tot een vergelijking zonder $L$ in de volgende stappen:
$$\begin{array}{rcl} L (\alpha_{p+1}\vec{b}_{p+1}+\cdots +\alpha_n\vec{b}_n)&=&\vec{0} \\ \phantom{x}\color{blue}{\text{lineariteit van }L}&&\\ \alpha_{p+1}\vec{b}_{p+1}+\cdots +\alpha_n\vec{b}_n&\in&{\ker{L}} \\ \phantom{x}\color{blue}{\text{definitie van }\ker{L}}&&\\ \alpha_{p+1}\vec{b}_{p+1}+\cdots +\alpha_n\vec{b}_n&=&\alpha_1\vec{a}_1+\cdots+\alpha_p\vec{a}_p\\ &&\text{voor zekere getallen}\\ && \alpha_1,\ldots ,\alpha_p\\ \phantom{x}\color{blue}{\basis{\vec{a}_1,\ldots,\vec{a}_p}\text{ is een basis van }\ker{L}}&&\\ -\alpha_1\vec{a}_1-\cdots -\alpha_p\vec{a}_p+\alpha_{p+1}\vec{b}_{p+1}+\cdots +\alpha_n\vec{b}_n&=&\vec{0}\\\phantom{x}\color{blue}{\text{alle termen naar links gebracht }}&&\\\end{array}$$ Omdat $\basis{\vec{a}_1,\ldots ,\vec{a}_p,\vec{b}_{p+1},\ldots ,\vec{b}_n}$ een basis is, volgt hieruit dat de enige oplossing is $$\alpha_1=\cdots =\alpha_p=\alpha_{p+1}=\cdots =\alpha_n=0$$ Volgens het Afhankelijkheidscriterium is het stelsel $L \vec{b}_{p+1},\ldots , L \vec{b}_n$ daarom lineair onafhankelijk.

Bewijs van $n = \dim{U}+\dim{U^\perp}$: Laat $P_U$ de orthogonale projectie van $\mathbb{R}^n$ op $U$ zijn.

De kern van $P_U$ bestaat uit het orthoplement $U^\perp$ van $U$ in $\mathbb{R}^n$ en het beeld is $U$. Uit de dimensiestelling voor lineaire afbeeldingen volgt daarom $$n = \dim{\mathbb{R}^n}=\dim{\ker{P_U}}+\dim{\im{P_U}}=\dim{U^\perp}+\dim{U}$$

Bewijs van $\dim{U}+\dim{W} = \dim{U\cap W} + \dim{U+W}$: De zojuist bewezen uitspraak gebruiken we een aantal keren. We gebruiken de uitspraak ook voor een lineaire deelruimte $W$ van $\mathbb{R}^n$ in de volgende versie:

$$\dim{W} = \dim{W\cap U} + \dim{W\cap U^\perp}$$

Het bewijs hiervan loopt net als het bewijs hierboven met de beperking van $P_U$ tot $W$ in plaats van $P_U$ zelf; het beeld van deze lineaire afbeelding is gelijk aan $U\cap W$ en de kern is $U^\perp\cap W$.

We leiden nu de te bewijzen gelijkheid af:

$$\begin{array}{rcl} \dim{U}+\dim{W} &=&\dim{U\cap W}+\dim{U\cap W^\perp}+\dim{W}\\&&\phantom{x}\color{blue}{\dim{U} = \dim{U\cap W} + \dim{U\cap W^\perp}}\\ &=&\dim{U\cap W}+\dim{W^\perp}-\dim{U^\perp\cap W^\perp}+\dim{W}\\&&\phantom{x}\color{blue}{\dim{W^\perp} = \dim{W^\perp\cap U} + \dim{ W^\perp\cap U^\perp}}\\ &=&\dim{U\cap W}+\dim{ W^\perp}-\dim{(U+W)^\perp}+\dim{W}\\&&\phantom{x}\color{blue}{ U^\perp\cap W^\perp =\left(U+ W\right)^\perp}\\ &=&\dim{U\cap W}+n-\dim{ W}-n+\dim{U+ W}+\dim{W}\\ &&\phantom{x}\color{blue}{\dim{X^\perp} + \dim{X}=n}\\ &=&\dim{U\cap W}+\dim{U+W}\\ \end{array}$$