Lineaire afbeeldingen: Matrices van lineaire afbeeldingen
Bepaling van de matrix van een lineaire afbeelding
Ten gevolge van de stelling Lineaire afbeelding bepaald door bases is een lineaire afbeelding van #\mathbb{R}^n# naar #\mathbb{R}^m# eenduidig bepaald door de beelden van een basis #\basis{\vec{a}_1,\ldots ,\vec{a}_n}# voor #\mathbb{R}^n#. Als deze basis de standaardbasis #\basis{\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_n}# is, dan kunnen we met de stelling Lineaire afbeeldingen in coördinaatruimten bepaald door matrices de bijbehorende matrix zo opschrijven. Maar als het een andere dan de standaardbasis is, moeten we eerst wat rekenen. Dat rekenwerk berust op de volgende techniek.
Matrixbepaling door vegenLaat #L:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m# een lineaire afbeelding zijn en #\alpha = \basis{\vec{a}_1,\ldots,\vec{a}_n}# een basis voor #\mathbb{R}^n#. Vorm de #(n\times(n+m))#-matrix
\[\matrix{\vec{a}_1& L( \vec{a}_1)\\ \vec{a}_2& L( \vec{a}_2)\\ \vdots&\vdots\\ \vec{a}_n& L( \vec{a}_n)}\]
Als we deze matrix vegen tot de gereduceerde trapvorm, dan ontstaat links de identiteitsmatrix en staan rechts de beelden van de standaardbasisvectoren onder #L# (als rijvectoren). Met andere woorden, de #(n\times m)#-deelmatrix rechts is de getransponeerde van #L_{\varepsilon}#.
Hieronder zijn enkele voorbeelden van deze techniek uitgewerkt.
\[\begin{array}{rcl}
L( \rv{ 0 , -1 , 1 } )&=&\rv{ -3 , -2 , 1 } \\ L( \rv{ 1 , -1 , 2 } )&=&\rv{ -2 , -2 , 1 } \\ L(\rv{ -2 , -1 , 0 } )&=&\rv{ -6 , -3 , 2 } \end{array}
\]
Bepaal de matrix #L_{\varepsilon}# van #L# ten opzichte van de standaardbasis #\varepsilon=\basis{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3}#.
In termen van matrices kunnen de voorwaarden op \(L_{\varepsilon}\) geschreven worden als
\[ \matrix{0 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \\ -2 & -1 & 0 \\ }\, L_{\varepsilon}^\top = \matrix{-3 & -2 & 1 \\ -2 & -2 & 1 \\ -6 & -3 & 2 \\ }\] waarin #L_{\varepsilon}^\top# de getransponeerde van #L_{\varepsilon}# is. We vinden #L_{\varepsilon}^\top# door van de matrix
\[ \left(\left.\begin{array}{ccc}0 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \\ -2 & -1 & 0 \end{array}\ \right|\begin{array}{ccc}-3 & -2 & 1 \\ -2 & -2 & 1 \\ -6 & -3 & 2 \end{array}\right)\] de rijen te vegen tot de gereduceerde trapvorm:
\[\begin{array}[t]{ll}
\left(\left.\begin{array}{ccc}0 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \\ -2 & -1 & 0 \end{array}\ \right|\begin{array}{ccc}-3 & -2 & 1 \\ -2 & -2 & 1 \\ -6 & -3 & 2 \end{array}\right)
&
\begin{array}[t]{ll} \sim\left(\begin{array}{rrr|rrr} -2 & -1 & 0 & -6 & -3 & 2 \\ 1 & -1 & 2 & -2 & -2 & 1 \\ 0 & -1 & 1 & -3 & -2 & 1 \end{array}\right) & \\\\ \sim\left(\begin{array}{rrr|rrr} 1 & {{1}\over{2}} & 0 & 3 & {{3}\over{2}} & -1 \\ 1 & -1 & 2 & -2 & -2 & 1 \\ 0 & -1 & 1 & -3 & -2 & 1 \end{array}\right) & \\\\ \sim\left(\begin{array}{rrr|rrr} 1 & {{1}\over{2}} & 0 & 3 & {{3}\over{ 2}} & -1 \\ 0 & -{{3}\over{2}} & 2 & -5 & -{{7}\over{2}} & 2 \\ 0 & -1 & 1 & -3 & -2 & 1 \end{array}\right) & \\\\ \sim\left(\begin{array}{rrr|rrr} 1 & {{1}\over{2}} & 0 & 3 & {{3 }\over{2}} & -1 \\ 0 & 1 & -{{4}\over{3}} & {{10}\over{3}} & {{7 }\over{3}} & -{{4}\over{3}} \\ 0 & -1 & 1 & -3 & -2 & 1 \end{array}\right) & \\\\ \sim\left(\begin{array}{rrr|rrr} 1 & 0 & {{2}\over{3}} & {{4}\over{3}} & {{1}\over{3}} & -{{1 }\over{3}} \\ 0 & 1 & -{{4}\over{3}} & {{10}\over{3}} & {{7}\over{3 }} & -{{4}\over{3}} \\ 0 & -1 & 1 & -3 & -2 & 1 \end{array}\right) & \\\\ \sim\left(\begin{array}{rrr|rrr} 1 & 0 & {{2}\over{3}} & {{4}\over{3}} & {{1}\over{3}} & -{{1}\over{3}} \\ 0 & 1 & -{{4}\over{3}} & {{10}\over{3}} & {{7}\over{3}} & -{{4 }\over{3}} \\ 0 & 0 & -{{1}\over{3}} & {{1}\over{3}} & {{1}\over{3}} & -{{1}\over{3}} \end{array}\right) & \\\\ \sim\left(\begin{array}{rrr|rrr} 1 & 0 & {{2}\over{3}} & {{4}\over{3 }} & {{1}\over{3}} & -{{1}\over{3}} \\ 0 & 1 & -{{4}\over{3}} & {{10 }\over{3}} & {{7}\over{3}} & -{{4}\over{3}} \\ 0 & 0 & 1 & -1 & -1 & 1 \end{array}\right) & \\\\ \sim\left(\begin{array}{rrr|rrr} 1 & 0 & 0 & 2 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & -{{4}\over{3}} & {{10}\over{3}} & {{7}\over{3}} & -{{4}\over{3}} \\ 0 & 0 & 1 & -1 & -1 & 1 \end{array}\right) & \\\\ \sim\left(\begin{array}{rrr|rrr} 1 & 0 & 0 & 2 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & -1 & 1 \end{array}\right) \end{array}
\end{array}
\] De #(3\times 3)#-deelmatrix rechts is gelijk aan
\[L_{\varepsilon}^\top = \matrix{2 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \\ }\] zodat het antwoord wordt:
\[L_{\varepsilon} = \matrix{2 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \\ }\]
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.