Coördinaten

Lineaire afbeeldingen: Matrices van lineaire afbeeldingen

Coördinaten

Eerder hebben we gezien dat lineaire afbeeldingen van #\mathbb{R}^n# naar #\mathbb{R}^m# met behulp van matrices beschreven kunnen worden. Dankzij de stelling Lineaire afbeelding bepaald door bases is zo'n beschrijving ook mogelijk als het andere vectorruimten betreft, maar de beschrijving vereist dan wel de keuze van een basis en het gebruik van coördinaten.

Coördinaten
In een #n#-dimensionale vectorruimte #V# kiezen we een basis #\alpha=\basis{\vec{a}_1,\ldots,\vec{a}_n}#. Iedere vector #\vec{x}\in V# is dan op precies één manier te schrijven als
\[
\vec{x}=x_1\vec{a}_1+x_2\vec{a}_2+\cdots +x_n\vec{a}_n
\] De getallen #x_1,\ldots ,x_n# heten de coördinaten van #\vec{x}# ten opzichte van de basis #\alpha# en #\rv{x_1,\ldots ,x_n}# heet de coördinaatvector (of preciezer: de #\alpha#-coördinaatvector) van #\vec{x}# ten opzichte van de basis #\alpha#.

De afbeelding die aan elke vector #\vec{x}# van #V# de bijbehorende coördinaatvector in #\mathbb{R}^n# toevoegt, is dus een bijectie. Uiteraard hangen de coördinaten af van de gekozen basis #\alpha#.

Eerder hebben we al gezien dat ten opzichte van #\alpha# de coördinaten van #\vec{x}+\vec{y}# de som van de coördinaten van #\vec{x}# en van #\vec{y}# zijn en dat de coördinaten van #\lambda\vec{x}# precies #\lambda# maal de coördinaten van #\vec{x}# zijn. Dat betekent:

CoördinatiseringAls we in een #n#-dimensionale vectorruimte #V# een basis #\alpha# kiezen, dan is de afbeelding die aan iedere vector #\vec{x}# zijn coördinaten ten opzichte van de basis #\alpha# toevoegt een inverteerbare lineaire afbeelding van #V# naar #\mathbb{R}^n#.

We zullen deze afbeelding meestal eveneens met #\alpha# noteren.

Als #\alpha: V\to\mathbb{R}^n# de coördinatisering is, dan is de bijbehorende basis van #V# \[\basis{\alpha^{-1}(\vec{e}_1),\ldots, \alpha^{-1}(\vec{e}_n)}\] waarbij \(\basis{\vec{e}_1,\ldots, \vec{e}_n}\) de standaardbasis van #\mathbb{R}^n# is.

De afbeelding #\alpha# is inverteerbaar en zendt de #i#-de basisvector van #\alpha# naar #\vec{e}_i#. De inverse afbeelding zendt #\vec{e}_i# dus naar de #i#-de basisvector van #\alpha#.

Het noteren van zowel de basis als de afbeelding met #\alpha# geeft nauwelijks aanleiding tot verwarring: #\alpha(\vec{x})# is de coördinaatvector van de vector #\vec{x}\in V# ten opzichte van de basis #\alpha#.

Geef de coördinaatvector van #\left(4\cdot x+5\right)^2# in de vectorruimte van alle veeltermen in #x# van graad ten hoogste #2# ten opzichte van de basis #\basis{1,x,x^2}#.

#\rv{25,40,16}#

Als we de haakjes in de gegeven veelterm wegwerken, dan krijgen we
\[ {\left(4\cdot x+5\right)^2} = 16\cdot x^2+40\cdot x+25\] De coördinaatvector van deze veelterm ten opzichte van de basis #\basis{1,x,x^2}# bestaat uit de coëfficiënten van #1#, #x# en #x^2#, en is dus #\rv{25,40,16}#.

Nieuw voorbeeld