Lineaire afbeeldingen: Matrices van lineaire afbeeldingen
Basisovergang
Laat #V# een #n#-dimensionale vectorruimte zijn. Eerder hebben we de coördinatisatie van #V# bekeken aan de hand van een basis. Nu bekijken we het verband tussen coördinatisaties aan de hand van twee bases:
\[
\alpha =\basis{\vec{a}_1,\ldots ,\vec{a}_n} \phantom{xx}\hbox{ en }\phantom{xx}\beta =\basis{\vec{b}_1,\ldots ,\vec{b}_n}
\] Met iedere vector #\vec{x}\in V# corresponderen nu twee stellen coördinaten: #\alpha (\vec{x})# ten opzichte van de basis #\alpha# en #\beta (\vec{x})# ten opzichte van de basis #\beta#. \[\begin{array}{ccccccc}
&&&V&&&\\ &\alpha&\swarrow&&\searrow&\beta&\\ \mathbb{R}^n&&&&&&\mathbb{R}^n\end{array}\] Het is nu duidelijk hoe het verband is tussen de #\alpha#-coördinaten van #\vec{x}# en de #\beta#-coördinaten van #\vec{x}#: we beginnen met het rijtje #\alpha#-coördinaten, passen daarop de afbeelding #\alpha^{-1}# toe zodat we op #\vec{x}\in V# terecht komen, en passen daarop de afbeelding #\beta# toe die de corresponderende #\beta(\vec{x})# oplevert.
Coördinatentransformatie
Laat #\alpha# en #\beta# twee bases in een #n#-dimensionale vectorruimte #V# zijn. Dan heet de lineaire afbeelding \[\beta\,\alpha^{-1}:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n\] de coördinatentransformatie van #\alpha# naar #\beta#.
De coördinatentransformatie kan beschreven worden door een matrix:
Matrix van een coördinatentransformatie
Laat #\alpha# en #\beta# bases zijn voor een #n#-dimensionale vectorruimte #V# en laat \[{}_\beta I_\alpha=\left(\beta\,\alpha^{-1}\right)_\varepsilon\] de matrix van de lineaire afbeelding #\beta\,\alpha^{-1}# zijn.
Als #\vec{x}# de #\alpha#-coördinaatvector is van een vector #\vec{v}# in #V#, dan is de #\beta#-coördinaatvector van #\vec{v}# gelijk aan #{}_\beta I_\alpha \,\vec{x}#.
De matrix #{}_\beta I_\alpha# heet de overgangsmatrix van basis #\alpha# naar basis #\beta#.
- overgangsmatrix #{}_\beta I_\alpha=\matrix{0 & 1 & 0 \\ -{{1}\over{2}} & -{{1}\over{2}} & {{1}\over{2}} \\ {{1}\over{2}} & {{1}\over{2}} & {{1}\over{2}} \\ }#
- #\beta#-coördinaatvector : \(\left[ -3 , {{1}\over{2}} , {{3}\over{2}} \right] \)
We kunnen de basisvectoren van #\beta# eenvoudig uitdrukken als lineaire combinaties van de basisvectoren van #\alpha#:
\[
\begin{array}{rrr}
x-1= & -1\cdot 1+1\cdot x+0\cdot x^2\\
x^2-1= & -1\cdot 1+0\cdot x+1\cdot x^2\\
x^2+1= & 1\cdot 1+0\cdot x+1\cdot x^2 &
\end{array}
\] We kennen dus de #\alpha#-coördinaten van de vectoren van #\beta# en daarmee de overgangsmatrix van #\beta# naar #\alpha#:
\[
{}_\alpha I_\beta = \matrix{-1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ }
\] De overgangsmatrix #{}_\beta I_\alpha# is de inverse van deze matrix. We vinden
\[
{}_\beta I_\alpha = \matrix{0 & 1 & 0 \\ -{{1}\over{2}} & -{{1}\over{2}} & {{1}\over{2}} \\ {{1}\over{2}} & {{1}\over{2}} & {{1}\over{2}} \\ }
\] Hoe bepalen we nu de #\beta#-coördinaten van de vector #2 x^2-3 x+4#? Van deze vector zijn de #\alpha#-coördinaten #\rv{4,-3,2}#. Die zetten we om in #\beta#-coördinaten met de matrix #{}_\beta I_\alpha#:
\[
{}_\beta I_\alpha\ \left(\,\begin{array}{r} 4\\ -3\\ 2
\end{array}\,\right) =
\frac{1}{2}\left(\,\begin{array}{rrr}
0 & 2 & 0\\
-1 & -1 & 1\\
1 & 1 & 1
\end{array}\,\right)
\left(\,\begin{array}{r}
4\\ -3\\ 2
\end{array}\,\right)\ =\matrix{-3 \\ {{1}\over{2}} \\ {{3}\over{2}} \\ }
\]
De eerste kolom van #{}_\beta I_\alpha# zou uit de #\beta#-coördinaten van de eerste basisvector van #\alpha# moeten bestaan. Die #\beta#-coördinaten zijn \[\rv{0,-\frac12,\frac12}\] en deze corresponderen met de vector \[0\, (x-1)-\frac12 (x^2-1)+\frac12(x^2+1)=1\] De eerste basisvector van #\alpha# is inderdaad gelijk aan #1#. Ga zelf na dat de tweede kolom bestaat uit de #\beta#-coördinaten van #x# en de derde kolom uit de #\beta#-coördinaten van #x^2#.
Tot slot laten we zien dat \(\left[ -3 , {{1}\over{2}} , {{3}\over{2}} \right] \) inderdaad de #\beta#-coördinaatvector is van #2 x^2-3 x+4#:
\[
-3(x-1)+\frac12(x^2-1)+\frac32 (x^2+1)=2x^2-3x+4
\]
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
