De in de nu volgende stelling geconstrueerde basis is handig bij het beschrijven van coördinaten.
Laat #\alpha = \vec{a}_1, \ldots , \vec{a}_n# een basis van #V# zijn.
- Er is precies één basis #a_1^\star, \ldots , a_n^\star# van #V^\star# die voldoet aan
\[a_i^\star(\vec{a}_j)= \begin{cases} 1& \quad \text{als } i = j\\ 0& \quad \text{als } i\neq j
\end{cases}
\]
In het bijzonder geldt #\dim{V}=\dim{V^\star}# als #V# eindigdimensionaal is.
- Als #\vec{a} \in V#, dan is #\alpha(\vec{a}) = \rv{a_1^\star(\vec{a}), \ldots , a_n^\star(\vec{a})}# de coördinaatvector van #\vec{a}#.
De basis #a_1^\star, \ldots , a_n^\star# van #V^\star# heet de duale basis van #\vec{a}_1, \ldots , \vec{a}_n#.
1. Volgens de stelling Lineaire afbeelding bepaald door bases bestaat er voor elke #i=1, \ldots , n# precies één lineaire functie #a_i^\star : V\rightarrow \mathbb{R}# met de in de stelling genoemde eigenschap.
Rest ons te bewijzen dat het stelsel #a_1^\star, \ldots , a_n^\star# een basis is van #V^\star#. Eerst tonen we aan dat het stelsel onafhankelijk is. Veronderstel dat, voor zekere scalairen \(\lambda_1 ,\ldots,\lambda_n \), geldt
\[
\lambda_1 a_1^\star + \cdots + \lambda_n a_n^\star = 0 \qquad (=\text{de nulfunctie})
\]
Pas nu het linker lid toe op de vector #\vec{a}_i# en doe hetzelfde voor het rechter lid. Links vinden we #\lambda_i#; rechts vinden we #0#. Aangezien dit voor #i=1,\ldots , n# geldt, concluderen we dat #\lambda_1 = \cdots =\lambda_n=0#. Het stelsel is dus onafhankelijk.
Vervolgens laten we zien dat elke vector #\varphi \in V^\star# tot het opspansel #\linspan{a_1^\star, \ldots , a_n^\star}# behoort. Het is eenvoudig na te gaan dat #\varphi(\vec{a}_1) a_1^\star +\varphi(\vec{a}_2) a_2^\star + \cdots + \varphi(\vec{a}_n) a_n^\star# en #\varphi# dezelfde waarden aannemen op #\vec{a}_1, \ldots , \vec{a}_n#. Alweer wegens stelling Lineaire afbeeldingen bepaald door bases betekent dit dat #\varphi= \varphi(\vec{a}_1) a_1^\star +\varphi(\vec{a}_2) a_2^\star + \cdots + \varphi(\vec{a}_n) a_n^\star#.
2. Als #\vec{a} = \lambda_1 \vec{a}_1 + \cdots +\lambda_n \vec{a}_n#, dan is
\[
a_i^\star(\vec{a}) = \lambda_1 a_i^\star(\vec{a}_1) + \cdots + \lambda_n a_i^\star(\vec{a}_n)
=\lambda_i
\]
vanwege de lineariteit van #a_i^\star#.
Deze basis vervult een rol die enigszins te vergelijken is met die van een orthonormale basis in een inproductruimte. Als we het inproduct gebruiken om een vectorruimte #V# van eindige dimensie #n# met #V^\star# te identificeren via de correspondentie\[\begin{array}{rcl}V&\leftrightarrow&V^\star\\ \vec{a}&\leftrightarrow&a^\star (\vec{x}) = \dotprod{\vec{a}}{\vec{x}}\end{array}\]dan valt voor een orthonormale basis de duale basis samen met de orthonormale basis.
Laat #\basis{\vec{e}_1, \vec{e}_2}# de standaardbasis van #\mathbb{R}^2# zijn.
De duale basis van de basis #\alpha =\basis{ \vec{e}_1+ \vec{e}_2, \vec{e}_1}# van #\mathbb{R}^2# is #\alpha^\star =\basis{ e_2^\star, e_1^\star -e_2^\star}#, waarbij #\basis{e_1^\star, e_2^\star}# de duale basis van #\basis{\vec{e}_1, \vec{e}_2}# is.
Het uitrekenen van de #\alpha#-coördinaten van de vector #\rv{3,7}=3\, \vec{e}_1 + 7\, \vec{e}_2# is dan eenvoudig: de eerste coördinaat is # e_2^\star (3\, \vec{e}_1 + 7\, \vec{e}_2)= 7#, de tweede coördinaat is #({e}_1^\star -{e}_2^\star)(3\, \vec{e}_1 + 7\, \vec{e}_2)= 3-7=-4#.
De afbeelding #a_i^\star# wijst aan elke vector #\vec{x}# van #V# de coëfficiënt #x_i# van #\vec{a}_i# in de uitdrukking \[\vec{x} = x_1\vec{a}_1+\cdots + x_n\vec{a}_n\] van #\vec{x}# als lineaire combinatie van de basisvectoren toe.
Met matrixtechnieken kunnen we eenvoudig de duale basis van een basis voor #\mathbb{R}^n# bepalen:
Laat #\vec{a}_1, \ldots , \vec{a}_n# een basis voor #\mathbb{R}^n# zijn en verzamel deze vectoren als kolommen in de matrix #A#. Dan bestaat de duale basis van #\vec{a}_1, \ldots , \vec{a}_n# uit de rijen van de inverse matrix van #A#.
De matrix #A# is gelijk aan #{}_{\epsilon}I_{\alpha}#. Elke vector uit de bij #\vec{a}_1, \ldots , \vec{a}_n# horende duale basis #\vec{a}_1^\star, \ldots , \vec{a}_n^\star# is te schrijven als lineaire combinatie van #{e}_1^\star, \ldots , {e}_n^\star#, zeg, #{a}_i^\star = b_{i1}\, {e}_1^\star + \cdots + b_{in}\, {e}_n^\star#. De #b_{ij}#'s verzamelen we in de matrix #B#. Nu volgt \[
{a}_i^\star (\vec{a}_j)= b_{i1}\cdot a_{1j}+ \cdots + b_{in}\cdot a_{nj}
\]
In het rechter lid staat het element #i,j# van de productmatrix #B\,A#. In het linker lid staat 1 als #i=j# en #0# anders. Dit betekent dat #I=B\,A#. Dus #B# is de inverse van #A#.
De rijen van #B# leveren de coëfficiënten van de vectoren ten opzichte van de duale basis.
Om de duale basis van #\vec{e}_1+ \vec{e}_2#, #\vec{e}_1# te bepalen inverteren we de matrix
\[
\left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 1 & 0\end{array}\right)
\]
en vinden
\[
\left(\begin{array}{cc} 0 & 1\\ 1 & -1\end{array}\right)
\]
De duale basis is dus #{e}_2^\star# (eerste rij), #{e}_1^\star -{e}_2^\star# (tweede rij).
Bepaal de duale basis van de basis #\basis{\rv{1 , 1 }, \rv{-2 , -1 }}# voor #\mathbb{R}^2#.
Geef je antwoord in de vorm van een matrix waarvan de rijen de coördinaatvectoren ten opzichte van de duale basis van de standaardbasis zijn.
#\matrix{-1 & 2 \\ -1 & 1 \\ }#
Om de duale basis van #\basis{\rv{1 , 1 }, \rv{-2 , -1 }}# te bepalen
inverteren we de matrix #A# waarvan de kolommen de basisvectoren zijn.
\[\begin{array}{rcl} A &=& \matrix{1 & -2 \\ 1 & -1 \\ }\\
A^{-1} &=& \matrix{-1 & 2 \\ -1 & 1 \\ }\end{array}
\]Volgens de stelling
Duale basis via inverse matrix bestaat de duale basis uit de rijen van deze matrix.
Duale basis
