Lineaire afbeeldingen: Duale vectorruimten
Duale basis
De in de nu volgende stelling geconstrueerde basis is handig bij het beschrijven van coördinaten.
Duale basisLaat #\alpha = \vec{a}_1, \ldots , \vec{a}_n# een basis van #V# zijn.
- Er is precies één basis #a_1^\star, \ldots , a_n^\star# van #V^\star# die voldoet aan
\[a_i^\star(\vec{a}_j)= \begin{cases} 1& \quad \text{als } i = j\\ 0& \quad \text{als } i\neq j
\end{cases}
\]
In het bijzonder geldt #\dim{V}=\dim{V^\star}# als #V# eindigdimensionaal is. - Als #\vec{a} \in V#, dan is #\alpha(\vec{a}) = \rv{a_1^\star(\vec{a}), \ldots , a_n^\star(\vec{a})}# de coördinaatvector van #\vec{a}#.
De basis #a_1^\star, \ldots , a_n^\star# van #V^\star# heet de duale basis van #\vec{a}_1, \ldots , \vec{a}_n#.
Met matrixtechnieken kunnen we eenvoudig de duale basis van een basis voor #\mathbb{R}^n# bepalen:
Duale basis via inverse matrix
Laat #\vec{a}_1, \ldots , \vec{a}_n# een basis voor #\mathbb{R}^n# zijn en verzamel deze vectoren als kolommen in de matrix #A#. Dan bestaat de duale basis van #\vec{a}_1, \ldots , \vec{a}_n# uit de rijen van de inverse matrix van #A#.
Bepaal de duale basis van de basis #\ifx\endpmatrix\undefined\pmatrix{\else\begin{pmatrix}\fi -3,4\cr -1,1\cr \ifx\endpmatrix\undefined}\else\end{pmatrix}\fi # voor #\mathbb{R}^2#.
Geef je antwoord in de vorm van een matrix waarvan de rijen de coördinaatvectoren ten opzichte van de duale basis van de standaardbasis zijn.
Geef je antwoord in de vorm van een matrix waarvan de rijen de coördinaatvectoren ten opzichte van de duale basis van de standaardbasis zijn.
#\ifx\endpmatrix\undefined\pmatrix{\else\begin{pmatrix}\fi 1&1\cr -4&-3\cr \ifx\endpmatrix\undefined}\else\end{pmatrix}\fi #
Om de duale basis van #\ifx\endpmatrix\undefined\pmatrix{\else\begin{pmatrix}\fi -3,4\cr -1,1\cr \ifx\endpmatrix\undefined}\else\end{pmatrix}\fi # te bepalen inverteren we de matrix #A# waarvan de kolommen de basisvectoren zijn.
\[\begin{array}{rcl} A &=& \ifx\endpmatrix\undefined\pmatrix{\else\begin{pmatrix}\fi -3&-1\cr 4&1\cr \ifx\endpmatrix\undefined}\else\end{pmatrix}\fi \\
A^{-1} &=& \ifx\endpmatrix\undefined\pmatrix{\else\begin{pmatrix}\fi 1&1\cr -4&-3\cr \ifx\endpmatrix\undefined}\else\end{pmatrix}\fi \end{array}
\]Volgens de stelling Duale basis via inverse matrix bestaat de duale basis uit de rijen van deze matrix.
Om de duale basis van #\ifx\endpmatrix\undefined\pmatrix{\else\begin{pmatrix}\fi -3,4\cr -1,1\cr \ifx\endpmatrix\undefined}\else\end{pmatrix}\fi # te bepalen inverteren we de matrix #A# waarvan de kolommen de basisvectoren zijn.
\[\begin{array}{rcl} A &=& \ifx\endpmatrix\undefined\pmatrix{\else\begin{pmatrix}\fi -3&-1\cr 4&1\cr \ifx\endpmatrix\undefined}\else\end{pmatrix}\fi \\
A^{-1} &=& \ifx\endpmatrix\undefined\pmatrix{\else\begin{pmatrix}\fi 1&1\cr -4&-3\cr \ifx\endpmatrix\undefined}\else\end{pmatrix}\fi \end{array}
\]Volgens de stelling Duale basis via inverse matrix bestaat de duale basis uit de rijen van deze matrix.
Ontgrendel volledige toegang
Toegang voor leraar
Vraag een demo account aan. Wij helpen je graag op weg met onze digitale leeromgeving.
Toegang voor student
Is jouw universiteit niet aangesloten?
Via Pass Your Math kan je toegang krijgen tot onze cursussen onafhankelijk van je onderwijsinstelling. Bekijk de prijzen en nog veel meer. Of ga naar
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.