Rechten in het coördinaatvlak

Vectorrekening in vlak en ruimte: Bases en coördinaten

Rechten in het coördinaatvlak

Door coördinaten vast te leggen kunnen we in #\mathbb{R}^2# rekenen. Dit geeft ons de mogelijkheid de coördinaten, vaak aangegeven met #x# en #y#, te gebruiken. In het bijzonder kunnen we een rechte lijn beschrijven door middel van een lineaire vergelijking.

Laat #\ell# een rechte in het coördinaatvlak #\mathbb{R}^2# zijn met steunvector #\rv{a, b}# en richtingsvector #\rv{u, v}#. Naast de parametervoorstelling van de rechte:
\[\rv{x, y} = \rv{a, b}+ \lambda\cdot\rv{ u, v}\]is #\ell# ook te beschrijven als de verzameling van oplossingen #\rv{x,y}# van de vergelijking\[v\cdot x - u\cdot y = v\cdot a - u\cdot b\tiny.\]

Laat #m# de verzameling oplossingen #\rv{x,y}# van de vergelijking #v\cdot x - u\cdot y = v\cdot a - u\cdot b# zijn. We moeten laten zien dat #\ell# en #m# samenvallen.

Voor elke waarde van #\lambda# is #\rv{x, y} =\rv{a, b}+ \lambda\cdot\rv{ u, v}# een oplossing van deze vergelijking. Immers, in deze situatie geldt #x=a+\lambda\cdot u# en #y=b+\lambda\cdot v#, zodat\[\begin{array}{rcl}v\cdot x - u\cdot y &=& v\cdot \left(a+\lambda\cdot u \right) - u\cdot \left(b+\lambda\cdot v \right)\\&=&v\cdot a+ v\cdot u\cdot\lambda-u\cdot b-u\cdot v\cdot\lambda\\&=&v\cdot a-u\cdot b\\ \end{array}\]Dit laat zien dat elk punt van #\ell# tot #m# behoort.

We moeten nog laten zien dat elk punt van #m# tot #\ell# behoort. Daartoe maken we gebruik van het feit dat #m# een lijn is. Dit is zo omdat #\rv{u,v}# een richtingsvector is, dus ongelijk aan #\rv{0,0}#. Dit betekent dat #u\ne0# of #v\ne0#. Als #u\ne0#, dan is de vergelijking van #m# te schrijven als \[y=\frac{v}{u}x-\frac{v\cdot a - u\cdot b}{u}\]en als #v\ne0#, dan is de vergelijking te schrijven als \[x= \frac{u}{v}\cdot y + \frac{v\cdot a - u\cdot b}{v}\tiny.\]In beide gevallen kunnen we de vergelijking als een parametervoorstelling opvatten:\[\rv{x,y} =\begin{cases}\rv{0,\frac{ u\cdot b-v\cdot a}{u}}+x\cdot\rv{1,\frac{v}{u}}&\text{ als } u\ne0\\\rv{\frac{v\cdot a - u\cdot b}{v},0}+y\cdot\rv{\frac{u}{v},1}&\text{ als }v\ne0\end{cases}\]De oplossingen van de vergelijking kunnen dus gegeven worden in de parametervoorstelling van een lijn, en vormen dus een lijn. Omdat de lijn #m# de lijn #\ell# bevat, moeten ze gelijk zijn. Dit bewijst de stelling.

Soms worden vectoren ook in kolommen beschreven. De parametervoorstelling van #\ell# ziet er dan als volgt uit:
\[
\left(\begin{array}{l}
x \\ y
\end{array}\right)
=
\left(\begin{array}{l}
a \\ b
\end{array}\right)
+
\lambda
\left(\begin{array}{l}
u \\ v
\end{array}\right)
\]We gaan hier later pas verder op in.

Vaak wordt ook #\rv{x_1,x_2}# geschreven in plaats van #\rv{x,y}#. Evenzo #\rv{a_1,a_2}# in plaats van #\rv{a,b}#, en #\rv{v_1,v_2}# in plaats van #\rv{u,v}#. Deze notatie is consistent met de notatie voor hogere dimensies.

Natuurlijk kunnen we ook gewoon schrijven: #x = a + \lambda\cdot u# en #y = b + \lambda\cdot v#. Door #\lambda# te elimineren uit deze twee relaties vinden we een vergelijking van de rechte: vermenigvuldig #x = a + \lambda \cdot u# met #v# en #y = b + \lambda\cdot v# met #u# en trek af: \[v\cdot x - u\cdot y = v\cdot a - u\cdot b\]
een lineaire vergelijking met onbekenden #x# en #y#.

Vergelijkingen van rechten zijn niet uniek, net zo min als parametervoorstellingen. Vermenigvuldig je bijvoorbeeld een vergelijking met 2, dan beschrijft het resultaat natuurlijk dezelfde rechte.

Een parametervoorstelling van een rechte beschrijft de vectoren/punten van een rechte expliciet: voor elke #\lambda# vind je een vector/punt op de rechte (of de coördinaten daarvan). Een vergelijking van een rechte beschrijft de rechte impliciet: #\rv{y_1, y_2}# ligt op de rechte dan en slechts dan als de coördinaten aan de vergelijking voldoen.

Heeft het lijnstuk #AB#, waarbij #A = \rv{-6,-16}# en #B = \rv{42,44}#, een snijpunt met de lijn #l# gegeven door de vergelijking #4 x -5 y -20=0#?

ja

De lijn door #A# en #B# heeft parametervoorstelling #A+\lambda\cdot (B-A)#. Als we de coördinaten invullen, staat hier \[\rv{-6,-16}+\lambda\cdot\rv{42+6,44+16}=\rv{-6+48\lambda,-16+60\lambda}\tiny.\] Om te onderzoeken of hier een punt van de lijn #l# gegeven door de vergelijking #4 x -5 y -20=0# in zit, vullen we deze coördinaten voor de variabelen #x# en #y# in de vergelijking in\[\begin{array}{rclcl} 4( -6+48\lambda)-5 (-16+60\lambda) -20 &=& 0 &\phantom{x}&\color{blue}{\text{coördinaten ingevuld}}\\ 36-108\lambda &=& 0 &\phantom{x}&\color{blue}{\text{vereenvoudigd}}\\ \lambda &=& {{1}\over{3}} &\phantom{x}&\color{blue}{\text{opgelost}}\\ \end{array} \]Omdat de waarde van #\lambda# tussen #0# en #1# ligt, behoort het snijpunt #A+{{1}\over{3}} \cdot (B-A)# tot het lijnstuk #AB#. Vandaar dat het antwoord ja is. Zie de figuur hieronder.

Er is trouwens een andere manier om uit te vinden of de lijn #l# het lijnstuk #AB# snijdt: bereken de waarde van #4 x -5 y -20# voor #\rv{x,y} = A# en voor #\rv{x,y}=B#. Als de twee waarden ongelijk teken hebben, dan snijdt de lijn #AB# wel, en anders niet. De verklaring is dat alle punten #\rv{x,y}# met #4 x -5 y -20\gt 0 # aan de ene kant van #l# liggen en alle punten met #4 x -5 y -20\lt 0 # aan de andere kant. De waarde van #4 x -5 y -20# voor #A# is #36# en de waarde voor #B# is #-72#.

Nieuw voorbeeld