Als we een functie #g(x)# hebben, hoeven we niet persé een variabele of een getal in te vullen voor #x#, we kunnen ook een uitdrukking of een functie #h(x)# invullen.
Als we de functie #\green{h(x)}# invullen voor #x# in de functie #\blue{g(x)}# krijgen we een nieuwe functie \[f(x)=\blue{g(}\green{h(x)}\blue{)}\] We noemen dit ook wel de samenstelling van #\blue{g}# en #\green{h}#.
Voorbeeld
#\blue{g(x)}=\blue{\sqrt{x}}# en #\green{h(x)}=\green{x+3}# geven:
\[f(x)=\blue{g(}\green{h(x)}\blue{)}=\blue{\sqrt{\green{x+3}}}\]
De samenstellingen #\blue{g(\green{h(x)})}# en #\green{h( \blue{g(x)})}# zijn in het algemeen niet gelijk: kies #\blue{x^2}# en #\green{x+1}#. Dan hebben we:
\[\begin{array}{crl}\blue{g( \green{h(x)})} &=& \blue{(\green{x+1})^2}=x^2+2x+1\\ \green{h(\blue{g(x)})} &=& x^2+1\end{array}\]
Dus #\blue{g( \green{h(x)})}# en #\green{h( \blue{g(x)})}# zijn verschillende functies.
Wanneer we #\blue{g(x)}=\blue{\sqrt{x}}# en #\green{h(x)}=\green{x+3}# schrijven heeft de variabele # x # in #\blue{g(x)}# niets te maken met de variabele #x# in #\green{ h(x) }#. De # x # in deze functies heeft alleen betekenis in combinatie met # \blue{g(x)}= \ldots# of #\green{ h(x) }= \ldots#. We kunnen net zo goed schrijven #\blue{g(y)} = \blue{\sqrt{h}}#. Hier is # h # nu de variabele. Ongeacht welke variabele we gebruiken voor #\green{g(x)}# geldt steeds #\blue{g(}\green{h(x)}\blue{)}=\blue{\sqrt{\green{x+3}}}#.
Stel dat #\blue{g(h)}=\blue{h^4}# en #\green{h(x)}=\green{x^2-5x}#. Dan geldt # f(x)=\blue{g(}\green{h(x)}\blue{)}=\blue{\left(\green{x^2 - 5x} \right)^{4}} #.
Dan kunnen we voor de samenstelling van een functie het volgende plaatje tekenen.
Merk op dat we hier de alternatieve notatie zoals bij het kopje "Notatie" gebruiken.
Het is belangrijk om deze samengestelde functies te herkennen en ze te kunnen splitsen in simpelere functies.
\[\begin{array}{llll}f(x)=&\sqrt{x+2}&=\blue{g(}\green{h(x)}\blue{)}\quad\text{geeft}\quad\blue{g(x)}=\blue{\sqrt{x}}\quad\text{en}\quad\green{h(x)}=\green{x+2}\\\\f(x)=&\sin(x^2)&=\blue{g(}\green{h(x)}\blue{)}\quad\text{geeft}\quad\blue{g(x)}=\blue{\sin(x)}\quad\text{en}\quad\green{h(x)}=\green{x^2}\\\\f(x)=&(x^3-4x)^6&=\blue{g(}\green{h(x)}\blue{)}\quad\text{geeft}\quad\blue{g(x)}=\blue{x^6}\quad\text{en}\quad\green{h(x)}=\green{x^3-4x}\end{array}\]
Om verwarring tussen de verschillende #x#-en te vermijden is het handig om de functie #g(x)# te schrijven als #g(h)#. Doe je dit dan krijg je voor de bovenstaande voorbeelden.
\[\begin{array}{llll}f(x)=&\sqrt{x+2}&=\blue{g(}\green{h(x)}\blue{)}\quad\text{geeft}\quad\blue{g(h)}=\blue{\sqrt{h}}\quad\text{en}\quad\green{h(x)}=\green{x+2}\\\\f(x)=&\sin(x^2)&=\blue{g(}\green{h(x)}\blue{)}\quad\text{geeft}\quad\blue{g(h)}=\blue{\sin(h)}\quad\text{en}\quad\green{h(x)}=\green{x^2}\\\\f(x)=&(x^3-4x)^6&=\blue{g(}\green{h(x)}\blue{)}\quad\text{geeft}\quad\blue{g(h)}=\blue{h^6}\quad\text{en}\quad\green{h(x)}=\green{x^3-4x}\end{array}\]
Het herkennen van deze samenstellingen is een kwestie van veel oefenen.
Uit welke functies #g# en #h# is de functie \[f(x)=3+\sqrt{x+3}\] samengesteld? Dat wil zeggen, voor welke #g# en #h# geldt #f(x)=g(h(x))#?
Samengestelde functies
