Wet van de totale kans

Hoofdstuk 3: Kansrekening: Kansrekening

Wet van de totale kans

Partitie

Een partitie van de uitkomstenruimte #\Omega# van een experiment is een verzameling wederzijds exclusieve gebeurtenissen #A_1, A_2, \ldots, A_k# waarvan de vereniging #A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_k# gelijk is aan #\Omega#.

Dit betekent dat elke mogelijke uitkomst van het experiment een element is van één en slechts één van de gebeurtenissen.

Wet van de Totale Kans

Gegeven een partitie #A_1, A_2, \ldots, A_k# en een andere gebeurtenis #B#, is het mogelijk om #B# te schrijven als:

\[B = (A_1 \cap B) \cup (A_2 \cap B) \cup \ldots \cup (A_k \cap B)\]

Vervolgens

\[\begin{array}{rcl}
\mathbb{P}(B) &=& \mathbb{P}[(A_1 \cap B) \cup (A_2 \cap B) \cup \ldots \cup (A_k \cap B)]\\\\
&=& \mathbb{P}(A_1 \cap B) + \mathbb{P}(A_2 \cap B) + \ldots + \mathbb{P}(A_k \cap B)\\\\
&=& \mathbb{P}(B\,|\,A_1)\cdot \mathbb{P}(A_1) + \mathbb{P}(B\,|\,A_2)\cdot \mathbb{P}(A_2) + \ldots + \mathbb{P}(B\,|\,A_k)\cdot \mathbb{P}(A_k)
\end{array}\]

Gegeven dat #\mathbb{P}(A_i) \neq 0# voor alle #i#. Dit heet de Wet van de Totale Kans.

Stel dat je ouders een zomervakantie aan het plannen zijn naar één van de volgende bestemmingen: Spanje, Italië, Frankrijk, of Kroatië. Hiervoor gelden de volgende kansen:

De kans dat je ouders naar Spanje gaan is #0.2#.
De kans dat je ouders naar Italië gaan is #0.3#.
De kans dat je ouders naar Frankrijk gaan is #0.4#.
De kans dat je ouders naar Kroatië gaan is #0.1#.

Afhankelijk van de gekozen bestemming, bestaan er de volgende kansen dat je besluit om met je ouders op vakantie te gaan:

Als je ouders voor Spanje kiezen, dan is de kans dat je meegaat #0.3#.
Als je ouders voorItalië kiezen, dan is de kans dat je meegaat #0.5#.
Als je ouders voorFrankrijk kiezen, dan is de kans dat je meegaat #0.7#.
Als je ouders voorKroatië kiezen, dan is de kans dat je meegaat #0.4#.

Wat is de kans dat je deze zomer met je ouders op vakantie gaat?

#\mathbb{P}(\text{You join your parents})= 0.53#

Eerst definiëren we de volgende gebeurtenissen:

#A_1 =# 'Je ouders kiezen voor Spanje'
#A_2 =# 'Je ouders kiezen voor Italië'
#A_3 =# 'Je ouders kiezen voor Frankrijk'
#A_4 =# 'Je ouders kiezen voor Kroatië'
#B\,\,=\,# 'Je gaat met je ouders op vakantie'

Vervolgens gebruiken we de wet van de totale kans om de kans berekenen dat je met je ouders op vakantie gaat:
\[\begin{array}{rcl}
\mathbb{P}(B) &=& \mathbb{P}(B\,|\,A_1)\cdot \mathbb{P}(A_1) + \mathbb{P}(B\,|\,A_2)\cdot \mathbb{P}(A_2) + \mathbb{P}(B\,|\,A_3)\cdot \mathbb{P}(A_3) + \mathbb{P}(B\,|\,A_4)\cdot \mathbb{P}(A_4)\\\\
&=& 0.3 \cdot 0.2 + 0.5 \cdot 0.3 + 0.7 \cdot 0.4 + 0.4 \cdot 0.1\\\\
&=& 0.53\\
\end{array}\]

Nieuw voorbeeld