1. Het bewijs van de eerste uitspraak volgt uit het feit dat #L# injectief is. In het bijzonder bestaat de kern van #L# alleen uit de nulvector, zodat uit de Dimensiestelling voor lineaire afbeeldingen volgt dat het beeld dimensie #m# heeft; dus #W# heeft dimensie minstens #m#, ofwel #n\ge m#. Dit kan ook ingezien worden door op te merken dat het beeld van de orthonormale basis #\alpha=\basis{\vec{a}_1,\ldots,\vec{a}_m}# een orthonormaal, en dus onafhankelijk, stelsel vectoren in #W# is.

2. Om de tweede uitspraak te bewijzen vullen we de beelden onder #L# van het stelsel #\alpha=\basis{\vec{a}_1,\ldots, \vec{a}_m}# aan tot een orthonormale basis #\beta# van #W#. De basis #\beta# bestaat dus uit de basis #\basis{L(\vec{a}_1),\ldots ,L(\vec{a}_m)}# van #\im{L}# en een orthonormale basis van het orthogonale complement #\im{L}^\perp#. De matrix #{}_\beta L_\alpha#van #L# ten opzichte van de bases #\alpha# en #\beta# is gelijk aan de #(n\times m)#-matrix \(\matrix{I_m\\ 0}\).

3. We zullen nu de derde uitspraak bewijzen. Uit de tweede uitspraak volgt dat er ook een orthonormale basis #\gamma# voor #W# is zodanig dat #{}_\gamma M_\alpha = \matrix{I_m\\ 0}#. In het bijzonder geldt \[{}_\beta L_\alpha= \matrix{I_m\\ 0} ={}_\gamma M_\alpha={}_\gamma I_\beta \,{}_\beta M_\alpha \] Laat #Y:W\to W# de lineaire afbeelding zijn die ten opzichte van de basis #\beta# van #W# bepaald is door de matrix #{}_\gamma I_\beta#. Dan volgt uit bovenstaande gelijkheden dat #L = Y\, M#.

We moeten nog aantonen dat #Y# orthogonaal is. Omdat #\beta# en #\gamma# orthonormale bases zijn, is de overgangsmatrix #{}_\gamma I_\beta# orthogonaal. Volgens de stelling Orthogonale afbeeldingen op eindigdimensionale ruimten en orthonormale stelsels is dus ook de daardoor bepaalde lineaire afbeelding #Y:W\to W# orthogonaal. Hiermee is de stelling bewezen.