Differentiaalvergelijkingen en Lineaire algebra: Laplace-transformaties
Transferfuncties en responsfuncties
Wij vatten het gebruik van de Laplace-transformatie samen door een algemene methode te beschrijven om specifieke oplossingen te vinden van tweede orde lineaire vergelijkingen met constante coëfficiënten lossen.
Beschouw het beginwaardenprobleem \[a\cdot x''+b\cdot x'+c\cdot y = g(t)\qquad\text{ met }\qquad x(0) = x_0\quad \text{ and }\quad x'(0)=x'_0\] Laat
- \(H(s) = \frac{1}{a\cdot s^2+b\cdot s+c}\), de overdracht van de functie, zijn en
- \(h=\mathcal{L}^{-1}(H)\) de impuls-respons functie van het beginwaardenprobleem.
In termen van deze functies is de oplossing van bovenstaand beginwaardenprobleem de som van de volgende twee functies:
- de geforceerde respons: de convolutie \(g\ast h\); het is de oplossing van het beginwaardenprobleem \(a\cdot x''+b\cdot x'+c\cdot y = g(t)\) met \( x(0)=x'(0)=0\)
- de vrije respons: \( \mathcal{L}^{-1}\left(H(s)\cdot\left((a\cdot s+b)\cdot x_0+a\cdot x_0'\right)\right)\); het is de oplossing van het beginwaardenprobleem \(a\cdot x''+b\cdot x'+c\cdot y = 0\) met \(x(0)=x_0\) en \(x'(0)=x_0'\)
Het voorbeeld hieronder laat zien hoe de hierboven beschreven overdracht- en de responsfuncties helpen bij het oplossen van een tweede-orde lineaire beginwaardenprobleem.
\[ {{d^2}\over{d t^2}} x-{{d}\over{d t}} x-2 x=\euler^ {- t }\qquad \text{ met }\qquad x(0)=2\ \text{ en }\ x'(0)=1\]
\(x(t)=\) \( {{\euler^ {- t }\cdot \left(10\cdot \euler^{3\cdot t}-3\cdot t+8\right)}\over{9}} \)
We beginnen met het bepalen van de overdrachtsfunctie #H(s)# van het beginwaardenprobleem. Per definitie van de transferfunctie geldt
\[\begin{array}{rcl}
H(s) &=&\dfrac{1}{as^2+bs+c}\\
&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{als }a,\ b,\ c\ \text{zconstanten zijn, zo dat de GDV de vorm}}\\
&&\phantom{xx1234567891011}\color{blue}{ax''+bx'+cx = g(t)\text{ heeft}}\\
&=&\displaystyle {{1}\over{s^2-s-2}}
\end{array}\]
Dus \(H(s) =\) \( {{1}\over{s^2-s-2}} \).
Vervolgens bepalen we de impuls-responsfunctie \(h(t)\) van dit probleem. Per definitie van de impulse-responsefunctie en de inverse Laplace-transformaties van rationale functies geldt
\[\begin{array}{rcl}
h(t) &=&\mathcal{L}^{-1}(H(s))(t)\\
&=&\displaystyle \mathcal{L}^{-1}\left({{1}\over{s^2-s-2}}\right)(t)\\
&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{uitdrukking gevinden voor }H(s)\text{ ingevuld}}\\
&=&\displaystyle {{\euler^{2\cdot t}}\over{3}}-{{\euler^ {- t }}\over{3}}\\
&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{de inverse Laplace-getransformeerde van een rationale functie}}\\
\end{array}\]
Dus \(h(t) =\) \( {{\euler^{2\cdot t}}\over{3}}-{{\euler^ {- t }}\over{3}} \).
De Laplace-getransformeerde van de vrije respons is
\[H(s)\cdot\left((a\cdot s+b)\cdot x_0+a\cdot x_0'\right) = {{2\cdot \left(s-1\right)+1}\over{s^2-s-2}}\]
De vrije respons zelf is de inverse Laplace-getransformeerde van deze functie:
\[ \mathcal{L}^{-1}\left(H(s)\cdot\left((a\cdot s+b)\cdot x_0+a\cdot x_0'\right)\right) = \euler^{2\cdot t}+\euler^ {- t }\]
Met het oog op de bepaling van de gedwongen respons, berekenen we het volgende convolutieproduct:
\[\begin{array}{rcl} (g\ast h)(t) &=&\displaystyle \int_0^t h(\tau)\cdot g(t-\tau)\,\dd \tau\\
&=&\displaystyle \int_0^t {{\euler^ {- t }\cdot \left(\euler^{3\cdot \tau}-1\right)}\over{3}}\,\dd \tau\\
&=&\displaystyle \left[ {{\euler^ {- t }\cdot \left(\euler^{3\cdot \tau}-3\cdot \tau\right)}\over{9}}\right]_{\tau=0}^{\tau=t}\\ &=&\displaystyle{{\euler^ {- t }\cdot \left(\euler^{3\cdot t}-3\cdot t\right)}\over{9}}-{{\euler^ {- t }}\over{9}}\\ &=&\displaystyle {{\euler^ {- t }\cdot \left(\euler^{3\cdot t}-3\cdot t-1\right)}\over{9}}
\end{array}\]
Door de vrije en gedwongen reactie op te tellen, vinden we de oplossing van het IVP:
\[\begin{array}{rcl} x(t)& =& \displaystyle \euler^{2\cdot t}+\euler^ {- t }+{{\euler^ {- t }\cdot \left(\euler^{3\cdot t}-3\cdot t-1\right)}\over{9}}\\ &=& \displaystyle {{\euler^ {- t }\cdot \left(10\cdot \euler^{3\cdot t}-3\cdot t+8\right)}\over{9}}\end{array}\]
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.