Differentiaalvergelijkingen: Scheiden van variabelen
GDV's oplossen door het scheiden van variabelen
We beschrijven de stappen voor het oplossen van een scheidbare differentiaalvergelijking.
Werkwijze bij het scheiden van variabelen
Laat #f# en #g# continue functies zijn. De stappen bij het scheiden van variabelen, toegepast op \(y '= g (y) \cdot f (t) \), zijn de volgende:
- Transformeer de vergelijking in een differentiaalvorm met alle uitdrukkingen die \(y\) bevatten en alle die \(t\) bevatten aan verschillende kanten: \[\frac{1}{g(y)}\,\dd y = f(t)\,\dd t\]
- Integreer beide zijden van de vergelijking in stap 1 om een impliciete oplossing van de GDV te vinden: \(H(y)=F(t)+C\) waarbij \(C\) een constante, \(F(t)\) is een primitieve van #f(t)# en \(H(y)\) is een primitieve van #\frac{1}{g(y)}#.
- Als er een beginvoorwaarde gegeven is, gebruik die dan om een specifieke oplossing voor \(y\) te vinden uit de algemene oplossing verkregen in stap 2
- Probeer om de oplossing zo expliciet mogelijk te schrijven, door het oplossen van #y# uit de vergelijking van stap 2 of 3.
We illustreren de scheidingswerkwijze aan de hand van enkele voorbeelden.
\(y(t)=K+C\cdot \e^{-r\cdot t}\)
In differentiaalvorm is de gegeven differentiaalvergelijking \[\dd y=r\cdot(K-y)\,\dd t\] De constante functie #y(t)=K# is een oplossing die we voorlopig apart zetten, zodat we beide zijden door #K-y# kunnen delen. Separatie van variabelen geeft \[\frac{1}{K-y}\,\dd y=r\,\dd t\]De linker en rechter kant zijn respectievelijk te schrijven als \(\dd\bigl(\ln(|K-y|)\bigr)\) en \(\dd(r\cdot t)\). We hebben dus de volgende gelijkheid tussen twee differentialen: \[\dd\bigl(\ln(|K-y|)\bigr)=\dd(r\cdot t)\] De functies ‘achter de d's’ zijn dus op een constante na aan elkaar gelijk: \[\ln(|K-y|)=r\cdot t+c\] voor een constante \(c\). Er geldt dus: \[|y-K| =\e^{r\cdot t+c}=\e^c\cdot \e^{-r\, t}=C\cdot \e^{-r\, t}\] voor een zekere \(C\gt 0\). Wegwerken van de absoluutstrepen leidt tot de expliciete oplossing: \[y=K+C\cdot \e^{-r\, t}\] voor zekere constante \(C\ne0\). Maar omdat we voor #C=0# de al gevonden oplossing #y=K# terugvinden, hoeven we deze waarde van #C# niet uit te sluiten. Zo vinden we dat de algemene oplossing is \[y(t)=K+C\cdot \e^{-r\, t}\] waarbij \(C\) een willeurige constante is.
waarvan we de algemene oplossing kennen van de stelling Oplossing van de exponentiële groei-vergelijking: \(u=D\cdot\e^{-r\cdot t}\), waarbij #D# de integratieconstante is. Uitgedrukt in #y# geeft dit \[y=K-u =K- D\cdot\e^{-r\cdot t}\] waaruit de gevonden algemene oplossing ontstaat als we #D=-C# nemen.
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.