Differentiaalvergelijkingen: Lineaire tweede-orde differentiaalvergelijkingen
Oplossen van homogene lineaire 2de orde GDV's met constante
Homogene lineaire differentiaalvergelijkingen van tweede orde met constante coëfficiënten zijn volledig op te lossen.
Algemene oplossing van een homogene lineaire tweede-orde GDV met constante coëfficiënten
Bekijk de GDV \[a\cdot\frac{\dd^2y}{\dd t^2}+b\cdot\frac{\dd y}{\dd t}+c\cdot y(t)=0\] waarbij #a#, #b# en #c# constanten zijn met #a\ne0#. De bijpassende karakteristieke vergelijking is \[a\cdot\lambda^2+b\cdot\lambda+c=0\] De discriminant van deze kwadratische vergelijking in #\lambda# is \(D=b^2-4a\cdot c\). We onderscheiden drie gevallen naar het teken van #D# en geven steeds de algemene oplossing met integratieconstanten #A# en #B#:
- Als #D# positief is, dan heeft de karakteristieke vergelijking volgens de abc-formule twee reële oplossingen, zeg \[\lambda_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\qquad\text{en}\qquad \lambda_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\] De algemene oplossing van de differentiaalvergelijking is dan \[y(t)=A\cdot\e^{\lambda_1\cdot t}+B\cdot\e^{\lambda_2\cdot t}\]
- Als \(D\) gelijk is aan nul is, dan heeft de karakteristieke vergelijking volgens de abc-formule één oplossing, namelijk \[\lambda=\frac{-b}{2a}\] De algemene oplossing is dan \[y(t)=(A+B\cdot t)\cdot\e^{\lambda\cdot t}\]
- Als \(D\) negatief is, dan heeft de karakteristieke vergelijking geen reële oplossingen, maar wel twee complex geconjugeerde oplossingen #\alpha\pm\beta\, \ii#, waarbij \[\alpha=-\frac{b}{2a}\text{ en } \beta=\frac{\sqrt{-D}}{2a}\] De algemene oplossing van de differentiaalvergelijking is dan \[y(t)=\e^{\alpha\cdot t}\cdot\bigl(A\cdot\cos(\beta \cdot t)+B\cdot\sin(\beta \cdot t)\bigr)\]
#y(t)=# #c\cdot\e^{-t}+d\cdot\e^{-2t}#
De karakteristieke vergelijking van de gegeven homogene lineaire differentiaalvergelijking van tweede orde is \[ \lambda^2+3\lambda+2=0\]
De discriminant \(D\) van de kwadratische veelterm is gelijk aan \[D= 3 ^2-4\cdot 2 = 1 = 1^2\]Omdat #D\gt0#, heeft de karakteristieke vergelijking twee reële oplossingen: \[\lambda_{1,2}= \frac{-3\pm 1}{2}\] oftewel \[\lambda_1=-1 \qquad\text{en}\qquad\lambda_2=-2\]
Volgens de stelling Algemene oplossing van een homogene lineaire tweede-orde GDV met constante coëfficiënten heeft de differentaalvergelijking de volgende algemene oplossing: \[y(t)=c\cdot\e^{-t}+d\cdot\e^{-2t}\] met constanten \(c\) en \(d\).
De karakteristieke vergelijking van de gegeven homogene lineaire differentiaalvergelijking van tweede orde is \[ \lambda^2+3\lambda+2=0\]
De discriminant \(D\) van de kwadratische veelterm is gelijk aan \[D= 3 ^2-4\cdot 2 = 1 = 1^2\]Omdat #D\gt0#, heeft de karakteristieke vergelijking twee reële oplossingen: \[\lambda_{1,2}= \frac{-3\pm 1}{2}\] oftewel \[\lambda_1=-1 \qquad\text{en}\qquad\lambda_2=-2\]
Volgens de stelling Algemene oplossing van een homogene lineaire tweede-orde GDV met constante coëfficiënten heeft de differentaalvergelijking de volgende algemene oplossing: \[y(t)=c\cdot\e^{-t}+d\cdot\e^{-2t}\] met constanten \(c\) en \(d\).
Ontgrendel volledige toegang
Toegang voor leraar
Vraag een demo account aan. Wij helpen je graag op weg met onze digitale leeromgeving.
Toegang voor student
Is jouw universiteit niet aangesloten?
Via Pass Your Math kan je toegang krijgen tot onze cursussen onafhankelijk van je onderwijsinstelling. Bekijk de prijzen en nog veel meer. Of ga naar
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.