Inverse van gebroken lineaire functie

Functies: Gebroken functies

Inverse van gebroken lineaire functie

We hebben gezien dat de inverse functie bepalen hetzelfde is als de variabele #x# vrijmaken in een formule van de vorm #y=\ldots#. Nu zullen we bekijken hoe we dat bij gebroken lineaire functies kunnen doen.

	Stappenplan We bepalen de inverse functie van de gebroken lineaire functie #\green{y}=\frac{a\blue{x}+b}{c\blue{x}+d}# met #a#, #b#, #c# en #d# getallen.	Voorbeeld #\green{y}=\frac{2\blue{x}-5}{3\blue{x}+2}#
Stap 1	Vermenigvuldig met de noemer van de breuk: #c\blue{x}+d#.	#\green{y} \left(3\blue{x}+2\right)=2\blue{x}-5#
Stap 2	Werk de haakjes uit.	#3\blue{x}\green{y}+2 \green{y}=2\blue{x}-5#
Stap 3	Breng door middel van herleiding de termen zonder #x# naar rechts en de termen met een #x# erin naar links.	#3\blue{x}\green{y}-2\blue{x}=-2 \green{y}-5#
Stap 4	Haal #x# buiten haakjes.	#\blue x \left(3 \green{y}-2\right)=-2 \green{y}-5#
Stap 5	Deel door wat binnen de haakjes staat, zodat aan de linkerkant alleen #x# overblijft.	#\blue x=\frac{-2 \green{y}-5}{3 \green{y}-2}#
Stap 6	Maak van de #\blue x# een #\green y# en van de #\green y# een #\blue x# om de inverse functie te krijgen.	#\green y=\frac{-2 \blue{x}-5}{3 \blue{x}-2}#

Variabele vrijmaken of inverse bepalenIndien de vraag is om de variabele #x# vrij te maken uit de formule hoeven we stap 6 van het stappenplan niet meer uit te voeren. We zijn dan bij stap 5 van het stappenplan klaar.

Als er juist gevraagd wordt om de inverse functie van een functie van de vorm #f(x)=\tfrac{a\blue{x}+b}{c\blue{x}+d}# te bepalen dan vervangen we de #f(x)# eerst door #\green y# en voeren dan het volledige stappenplan uit. Uiteindelijk kunnen we dan na stap 6 de #\green y# weer vervangen door #f^{-1}(x)#.

Maak #x# vrij in
\[y={{8-5\cdot x}\over{5\cdot x+8}}\]

#x={{8-8\cdot y}\over{5\cdot y+5}}#

#\begin{array}{rcl}
y&=&{{8-5\cdot x}\over{5\cdot x+8}} \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{de oorspronkelijke fu‍nctie}}\\
y \cdot \left(5\cdot x+8\right)&=& 8-5\cdot x \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{beide kanten vermenigvuldigd met }5\cdot x+8}\\
5\cdot x\cdot y+8\cdot y&=&8-5\cdot x \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{haakjes uitgewerkt}}\\
5\cdot x\cdot y+5\cdot x &=&8-8\cdot y \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{ter‍men met } x \text{ naar links, ter‍men zonder }x \text{ naar rechts}}\\
x\cdot \left(5\cdot y+5\right) &=& 8-8\cdot y \\ &&\phantom{xxx}\blue{x \text{ buiten haakjes gehaald}}\\
x&=&{{8-8\cdot y}\over{5\cdot y+5}} \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{gedeeld door }5\cdot y+5}\\
\end{array}#

Nieuw voorbeeld