We zullen nu naar enkele andere toepassingen met exponentiële functies en logaritmen kijken.
I.
Eerst zullen we kijken naar een in economische berekeningen veelvuldig toegepaste vuistregel.
Als twee variabelen ieder een tamelijk kleine percentuele groei te zien geven, zal het product van die twee variabelen groeien met een percentage dat bij benadering gelijk is aan de som van de groeipercentages van de afzonderlijke variabelen.
Oftewel: Bij kleine percentages geldt dat de groeivoet van twee variabelen bij benadering gelijk is aan de som van groeivoeten van de afzonderlijke variabelen.
Om te begrijpen waarom de vuistregel werkt, nemen we aan dat #i# en #j# kleine groeivoeten zijn. De overeenkomstige groeifactoren zijn respectievelijk #1+i# en #1+j#, zodat de groeifactor van het product van twee variabelen, bijvoorbeeld #A# met groeivoet #i# en #B# met groeivoet #j#, gelijk is aan
\[(1+i)\cdot(1+j)=1+i+j+i\cdot j\]
Het feit dat #i# en #j# klein zijn, impliceert dat #i\cdot j# zeer klein is. Als bijvoorbeeld #i\approx 10^{-2}# en #j\approx 10^{-2}#, dan geldt #i\cdot j\approx 10^{-4}#, dus als we getallen afronden op 2 decimalen, dan kunnen we #i\cdot j# vergeten. Zo kunnen we, voor voldoend kleine waarden van #i# en #j#, als groeifactor van #A\cdot B# de uitdrukking #1+i+j# nemen, zodat de groeivoet gelijk wordt aan #i+j#, zoals beweerd.
Omdat de groeipercentages bij #i#, #j# en #i+j# verkregen worden door ze met #100# te vermenigvuldigen, is dezelfde vuistregel van kracht voor groeipercentages in plaats van groeivoeten. Er geldt immers \[100\cdot i+100\cdot j = 100\cdot(i+j)\]
Stel dat de prijs van een product #p# groeit met #2\%# en de afzet #q# (het aantal verkochte exemplaren van het product) met #3\%#.
- Met hoeveel procent groeit de omzet #p \cdot q# dan volgens de vuistregel?
- Met hoeveel procent groeit de omzet dan volgens precieze berekening?
Geef je antwoorden in #2# decimalen nauwkeurig.
Volgens de vuistregel: #5##\%#
Volgens precieze berekening: #5.06##\%#
De vuistregel zegt dat als #P# en #Q# ieder een tamelijk kleine percentuele groei te zien geven, de omzet #P\cdot Q# groeit met een percentage dat gelijk is aan de som van de groeipercentages van de afzonderlijke variabelen. De omzet groeit dus met ongveer #2+3=5\%#.
Voor een precieze berekening redeneren we als volgt:
\[p_{nieuw}=p_{oud} \cdot 1.02 \text{ en } q_{nieuw}=q_{oud} \cdot 1.03 \]
Dus:
\[(p \cdot q)_{nieuw}=(p\cdot q)_{oud} \cdot 1.02 \cdot 1.03 =(p \cdot q)_{oud} \cdot 1.0506\]
Dus de omzet #p \cdot q# is precies toegenomen met #5.06\%#.
Het verschil tussen de berekening met de vuistregel en het precieze antwoord is #0.06\%#. Dit verschil is verwaarloosbaar in redeneringen als: "als de prijs van de boter met #2\%# toeneemt en de afzet met #3\%#, dan neemt de omzet met #5\%# toe".
Dit verschil is zo klein doordat beide groeipercentages klein zijn. Als de groeipercentages groter worden, is het gebruik van de vuistregel zeer riskant.
Stel bijvoorbeeld dat #p# groeit met #20\%# en #q# groeit met #30\%#, dan is de groei van de omzet volgens de vuistregel #50\%#, maar volgens exacte berekening #56\%#. Dat is een forse afwijking.
II.
Waar de groei op een spaarrekening op basis van samengestelde interest te berekenen is met een exponentieel groeimodel kunnen we ditzelfde model ook toepassen voor het benaderen van bevolkingsgroei. In de onderstaande voorbeelden zullen we drie vragen met betrekking tot bevolkingsgroei beantwoorden, die beantwoord kunnen worden met de theorie van exponentiële groei en logaritmen.
Stel dat de bevolkingsgroei in een bepaald land #0.5\%# per jaar bedraagt.
Wat is dan het groeimodel voor de bevolkingsgroei bij een eenheidsinterval van een jaar?
Het groeimodel is: #B(n)=B_0 \cdot (1.005)^n#, waarbij #B(n)# de bevolkingsomvang na #n# jaar is en #B_0# de bevolkingsomvang in het begin.
Immers, het feit dat de bevolkingsgroei #0.5\%# per jaar bedraagt, betekent dat de groeivoet waarmee de bevolking per jaar groeit, gelijk is aan #i_{\text{jaar}}=\frac{0.5}{100}=0.005#. De groeifactor per jaar is dan gelijk aan: #g_{\text{jaar}}=0.005+1=1.005#. We concluderen dat het volgende groeimodel te gebruiken is:
\[B(n)=B_0 \cdot (1.005)^n\] waarbij #B(n)# de bevolkingsomvang na #n# jaar is en #B_0# de bevolkingsomvang in het begin.
III.
Om de jaarlijkse groei van een proces te beschrijven kunnen we de gemiddelde jaarlijkse afname/toename gebruiken. Dit is het percentage afname/toename per jaar dat berekend wordt aan de hand van een percentuele afname/toename over een langere periode onder de aanname dat het proces een exponentieel groeimodel volgt. Hier is een voorbeeld.
Stel dat de afname van de werkloosheid een exponentieel groeimodel volgt en dat in een periode van #4# opeenvolgende jaren de werkloosheid is afgenomen met #16\%#.
Welk percentage geeft dan de gemiddelde jaarlijkse afname weer?
Rond je antwoord af op een geheel getal.
Gemiddelde jaarlijkse afname: #4##\%#
De groeivoet per #4# jaar is #\frac{-16}{100}=-0.16#, zodat de groeifactor per #4# jaar gelijk is aan #-0.16+1=0.8400#.
Aangezien #\frac{1}{4}# van #4# jaar even lang is als een jaar, geeft stelling
Omrekening van groeifactoren dat de groeifactor per jaar verkregen wordt door de groeifactor per #4# jaar tot de macht #\frac{1}{4}# te verheffen. Daarom is de groeifactor per jaar #=(0.8400)^{\frac{1}{4}}=0.9573#.
Bijgevolg is de groeivoet per jaar gelijk aan: #0.9573-1=-0.0427#, en is het bijbehorende percentage #-0.0427 \cdot 100=-4.27#. De gemiddelde jaarlijkse afname van de werkeloosheid is dus circa #4\%#.
IV.
Tot slot zullen we kijken naar de zogenaamde 70-regel, die een vuistregel geeft voor de verdubbelingstijd van een exponentieel groeimodel.
Een kapitaal dat op een bank tegen samengestelde interest #p\%#, met #p\lt 10# uitstaat, heeft bij benadering een verdubbelingstijd van #70# gedeeld door het interestpercentage per jaar:
\[n_{\text{dubbel}}\approx \frac{70}{p}\]
Om de regel te bewijzen gebruiken we de formule #S(n)=S_0 \cdot (1+\frac{p}{100})^n# voor de eindwaarde na #n# jaar met groeivoet #\frac{p}{100}#. Verdubbeling van het kapitaal in #n# jaar betekent #S(n)=2 \cdot S_0#.
Invullen van deze uitdrukking voor #S(n)#in de formule geeft de vergelijking \[2 \cdot S_0=S_0 \cdot (1+\frac{p}{100})^n\] Door beide kanten te delen door #S_0# vinden we de vergelijking \[2 = (1+\frac{p}{100})^n\] Deze vergelijking willen we oplossen voor de onbekende #n#, want we zijn geïnteresseerd in de tijd die het duurt voordat het kapitaal op de bank verdubbeld is.
In het oplossingen van de vergelijking gebruiken we de benaderingsregel dat voor kleine #x# geldt dat #\log_{10}(1+x)\approx \frac{x}{\ln(10)}#. Deze regel zullen we niet bewijzen.
De oplossing gaat dan als volgt:
\[\begin{array}{rcl}
(1+\frac{p}{100})^n&=&2\\
&& \phantom{xxxxx}\color{blue}{\text{de op te lossen vergelijking}}\\
\log_{10}(1+\frac{p}{100})^n&=&\log_{10}(2)\\
&& \phantom{xxxxx}\color{blue}{\text{beide kanten logaritme genomen}}\\
n \cdot \log_{10}(1+\frac{p}{100})&=&\log_{10}(2)\\
&& \phantom{xxxxx}\color{blue}{\text{rekenregel }\log_g(x^n)=n \cdot \log_g(x)}\\
n&=& \frac{\log_{10}(2)}{\log_{10}(1+\frac{p}{100})}\\
&& \phantom{xxxxx}\color{blue}{\text{gedeeld door }\log_{10}(1+\frac{p}{100})}\\
n&\approx& \frac{\log_{10}(2)}{\frac{p}{100 \cdot \ln(10)}}\\
&& \phantom{xxxxx}\color{blue}{\text{benaderingsregel voor kleine waarden van }p \text{: } \log_{10}(1+\frac{p}{100})=\frac{p}{100 \cdot \ln(10)}}\\
n&\approx& \frac{0.3010299957}{0.0043429448 \cdot p}\\
&& \phantom{xxxxx}\color{blue}{\text{uitgerekend}}\\
n&\approx&\frac{69.31471806}{p}\\
&& \phantom{xxxxx}\color{blue}{\text{uitgerekend}}\\
\end{array}\]
We vinden dus dat voor kleine #p# bij benadering geldt: \[n_{dubbel}=\frac{70}{p}\]
Ook voor verdrievoudiging hebben we zo'n regel.
Een kapitaal dat op een bank tegen samengestelde interest uitstaat, heeft bij benadering een verdrievoudigingsstijd van #110# gedeeld door het interestpercentage per jaar.
In het kort:
\[n_{drievoud}\approx \frac{110}{p}\]
Het bewijs gaat op dezelfde wijze als bij de verdubbelingsregel. Opnieuw gebruiken we dat #S(n)=S_0 \cdot (1+\frac{p}{100})^n#, wat de bekende formule voor het berekenen van de eindwaarde na #n# jaar met in dit geval de groeivoet genoteerd als #\frac{p}{100}#. Daarbij gebruiken we dat bij verdrievoudiging moet gelden #S(n)=3 \cdot S_0#.
Dan krijgen we de vergelijking: \[3 \cdot S_0=S_0 \cdot (1+\frac{p}{100})^n\] Door beide kanten te delen door #S_0# vinden we de vergelijking: \[3 = (1+\frac{p}{100})^n\] Deze vergelijking willen we oplossen voor de onbekende #n#, want we zijn geïnteresseerd in hoe lang het kapitaal op de bank moet staan, voordat het verdubbeld is.
Ook bij het oplossen van deze vergelijking gebruiken we de benaderingsregel dat voor kleine #x# geldt dat #\log_{10}(1+x)\approx \frac{x}{\ln(10)}#. Deze regel zullen we niet bewijzen.
De oplossing gaat dan als volgt:
\[\begin{array}{rcl}
(1+\dfrac{p}{100})^n&=&3\\
&& \phantom{xxxxx}\color{blue}{\text{de op te lossen vergelijking}}\\
\log_{10}(1+\dfrac{p}{100})^n&=&\log_{10}(3)\\
&& \phantom{xxxxx}\color{blue}{\text{beide kanten logaritme genomen}}\\
n \cdot \log_{10}(1+\dfrac{p}{100})&=&\log_{10}(3)\\
&& \phantom{xxxxx}\color{blue}{\text{rekenregel }\log_g(x^n)=n \cdot \log_g(x)}\\
n&=& \dfrac{\log_{10}(3)}{\log_{10}(1+\frac{p}{100})}\\
&& \phantom{xxxxx}\color{blue}{\text{gedeeld door }\log_{10}(1+\frac{p}{100})}\\
n&\approx& \frac{\log_{10}(3)}{\frac{p}{100 \cdot \ln(10)}}\\
&& \phantom{xxxxx}\color{blue}{\text{benaderingsregel voor kleine waarden van }p \text{: }}\\&& \phantom{xxxxx}\color{blue}{\log_{10}(1+\frac{p}{100})=\frac{p}{100 \cdot \ln(10)}}\\
n&\approx& \dfrac{0.4771212547}{0.0043429448 \cdot p}\\
&& \phantom{xxxxx}\color{blue}{\text{uitgerekend}}\\
n&\approx&\dfrac{109.8612293}{p}\\
&& \phantom{xxxxx}\color{blue}{\text{uitgerekend}}\\
\end{array}\]
We vinden dus dat voor kleine #p# bij benadering geldt: \[n_{drievoud}=\frac{110}{p}\]
In het onderstaande voorbeeld zie je hoe dat in de praktijk werkt.
Iemand zet #\euro \, 1300# weg op een bankrekening tegen #5\%# samengestelde interest per jaar.
a) Wat is de verdubbelingstijd volgens de 70-regel?
b) Wat is de verdrievoudigingstijd volgens de 110-regel?
c) Na hoeveel jaar is het kapitaal dan vier keer verdubbeld, ofwel verzestienvoudigd?
Rond je antwoorden allemaal af op hele jaren.
Verdubbelingstijd: #14# jaar
Verdrievoudigd: #22# jaar.
Verzestienvoudigd: #56# jaar
Volgens de 70-regel bedraagt de verdubbelingstijd bij benadering: \[n_{\text{dubbel}}=\frac{70}{5}=14\]
Dus na #14# jaar bedraagt het kapitaal ongeveer #\euro \, 2600#.
Voor de verdrievoudiging kunnen we de regel voor verdrievoudiging gebruiken: \[n_{\text{drievoud}}=\frac{110}{5}=22\]
Dus na #22# jaar bedraagt het kapitaal ongeveer #\euro \, 3900#.
Na #4 \cdot 14=56# jaar is het bedrag verzestienvoudigd. Dus na #56# jaar is het kapitaal ongeveer gelijk aan #\euro \, 20800#.
Ter vergelijking: het precieze gespaarde bedrag na #14# jaar zal gelijk zijn aan #\euro \, 2573.91#, na #22# jaar aan#\euro \, 3802.84# en na #56# jaar aan #\euro \, 19977.64#.
Andere toepassingen van exp en log
