Rijen en reeksen: Financiële toepassingen van rijen en reeksen
Ongelijke termijnen, ongelijke interestpercentages
Tot nu toe hebben we gerekend met renten met gelijke termijn en gelijkblijvende interestpercentages. In de praktijk is dat natuurlijk niet altijd het geval. Doorgaans geldt dat de eindwaarde en contante waarde van renten met steeds veranderende termijnen alleen berekend kunnen worden door de eindwaarde respectievelijk de contante waarde van de afzonderlijke termijnen op te tellen.
Er zijn echter uitzonderingen. Om de berekeningen in deze situaties zo eenvoudig mogelijk te beschrijven, maken we gebruik van de korte notatie die we al eerder tegenkwamen. We zullen deze hier nog even herhalen.
In de tabel hieronder staat de notatie die we tot nu toe tegenkwamen.
Situatie waarin symbool voorkwam | Factor | Notatie |
Eindwaarde zonder bijstorting | #(1+i)^n# | #S_{\left .n\right \rceil i}# |
Contante waarde zonder bijstorting | #\frac{1}{(1+i)^n}# | #A_{\left .n\right \rceil i}# |
Eindwaarde bij termijnen postnumerando | #\frac{(1+i)^n-1}{i}# | #s_{\left .n\right \rceil i}# |
Contante waarde bij termijnen postnumerando | #\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}# | #a_{\left .n\right \rceil i}# |
Eindwaarde bij termijnen prenumerando | #(1+i) \cdot s_{\left .n\right \rceil i}# | #\ddot{s}_{\left .n\right \rceil i}# |
Contante waarde bij termijnen prenumerando | #(1+i) \cdot a_{\left .n\right \rceil i}# | #\ddot{a}_{\left .n\right \rceil i}# |
Hieronder staan twee voorbeelden waarin we redelijk snel de eindwaarde respectievelijk de contante waarde kunnen berekenen, ook al hebben ze verschillende termijnen.
We kunnen ook kijken naar situaties waarin de termijnen wel gelijk zijn, maar de interest niet de gehele looptijd gelijk blijft. In het geval dat de interest per interval gelijk blijft, kunnen eindwaarde en contante waarde worden berekend. In het voorbeeld hieronder zullen we zo'n situatie bekijken.
Tot slot zullen we een voorbeeld bekijken waarin zowel de termijnen als de interestpercentages wisselen.
Teneinde deze kasstromen te kunnen vergelijken met het aan te trekken vreemd kapitaal wordt de contante waarde van de kasstromen bepaald. De gehanteerde interest bedraagt #3.3\%# per jaar.
Geef de contante waarde. Geef je antwoord in miljoenen euro's, tot op honderduizend euro nauwkeurig.
Er zijn twee eenvoudige methodes om deze opgave aan te pakken. De een werkt met een som van twee contante waarden die we met een bekende formule kunnen berekenen, de ander met een verschil. We beschrijven de methodes aan de hand van tijdlijnen.
Methode 1
We berekenen nu de som van de volgende twee bedragen:
- de contante waarde van #3# jaar met een termijnbedrag van #\euro \, 0.7# miljoen en een groeivoet van #i=\frac{3.3}{100}=0.033#
- de contante waarde voor #6# jaar met een termijnbedrag van #\euro \, 1.3# miljoen en een groeivoet van #i=\frac{3.3}{100}=0.033# gedeeld door de #3#de macht van de groeifactor.
\[CW=0.7 \cdot a_{\left .3\right \rceil 0.033} + 1.3 \cdot a_{\left .6\right \rceil 0.033} \cdot A_{\left .3\right \rceil 0.033}\]
Dit geeft
\[CW = 0.7 \cdot \frac{1-{1.033}^{-3}}{0.033}+1.3 \cdot \frac{1-{1.033}^{-6}}{0.033} \cdot \frac{1}{{1.033}^{3}}=8.294\]
Methode 2
Nu berekenen we de contante waarde als het verschil van de volgende twee bedragen
- de contante waarde van #9# jaar lang een termijnbedrag van #\euro \, 1.3# miljoen tegen een interestpercentage van #3.3\%# te berekenen
- de contante waarde van #3# jaar lang een termijnbedrag van #\euro \, -0.6# miljoen tegen een interestpercentage van #3.3\%# per jaar
\[CW=1.3 \cdot a_{\left .9\right \rceil 0.033} -0.6 \cdot a_{\left .3\right \rceil 0.033}\]
Dit geeft
\[CW = 1.3 \cdot \frac{1-{1.033}^{-9}}{0.033} -0.6 \cdot \frac{1-{1.033}^{-3}}{0.033}=8.294\]
Dus de contante waarde is #\euro \, 8.3# miljoen.
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.