Hogeregraadsvergelijkingen en de abc-formule

Functies: Hogeregraadsfuncties

Hogeregraadsvergelijkingen en de abc-formule

Sommige vergelijkingen met polynomen kunnen we oplossen met de abc-formule. We gebruiken hiervoor substitutie.

	Stappenplan We lossen een vergelijking met polynomen in #x# op met de abc-formule.	Voorbeeld #2x^4+3x^2-2=0#
Stap 1	Schrijf de vergelijking in de vorm #a \blue x^{\blue n \cdot 2}+b \blue{x^n} +c=0#.	#2\blue{x}^{\blue2 \cdot 2}+3\blue{x^2}-2=0#
Stap 2	Substitueer #\blue{x^n}=\green u#.	#2\green u^2+3\green u-2=0#
Stap 3	Los de ontstane kwadratische vergelijking in #\green u# op met de abc-formule.	#\green u=-2 \lor \green u =\tfrac{1}{2}#
Stap 4	Substitueer #\green u =\blue{x^n}# in de gevonden oplossing(en).	#\blue{x^2}=-2 \lor \blue{x^2}=\tfrac{1}{2}#
Stap 5	Bepaal de oplossingen in #x# van de in stap 4 ontstane vergelijkingen.	#x=-\tfrac{1}{\sqrt{2}} \lor x=\tfrac{1}{\sqrt{2}}#

Los #x# op in de vergelijking
\[2\cdot x^{10}-{{14\cdot x^5}\over{3}}-4=0\tiny\]
Geef je antwoord in de vorm #x=x_1\lor x=x_2 \lor \ldots \lor x=x_n#, waarbij #x_1#, #x_2#, #\ldots#, #x_n# getallen zijn en #n# het aantal oplossingen.

#x=\sqrt[5]{-{{2}\over{3}}} \lor x=\sqrt[5]{3} #

Stap 1	We schrijven de vergelijking in de vorm: \[2 x^{2 \cdot 5}-{{14}\over{3}} x^{5}-4=0\]
Stap 2	We substitueren #x^5=u#. Dat geeft: \[2 u^2-{{14}\over{3}} u-4=0\]
Stap 3	We lossen de ontstane vergelijking in #u# op met de abc-formule. De discriminant is gelijk aan: \[\begin{array}{rcl}D&=&b^2-4ac \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{formule voor de discriminant}}\\ &=& \left(-{{14}\over{3}}\right)^2-4 \cdot 2 \cdot -4 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{formule ingevuld}}\\ &=& {{484}\over{9}} \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{uitgerekend}}\end{array}\] Aangezien de discriminant positief is, zijn er twee oplossingen. Deze zijn: \[\begin{array}{rcl}u=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a} &\lor& u=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a} \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{formule voor de oplossingen}}\\ u=\frac{-{-{{14}\over{3}}}-\sqrt{{{484}\over{9}}}}{2 \cdot 2} &\lor& u=\frac{-{-{{14}\over{3}}}+\sqrt{{{484}\over{9}}}}{2 \cdot 2}\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{formule ingevuld}}\\ u=-{{2}\over{3}} &\lor& u=3 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{uitgerekend}}\end{array}\]
Stap 4	Nu substitueren we #u=x^{5}# in de gevonden oplossingen dat geeft \[x^{5}=-{{2}\over{3}} \lor x^{5}=3\]
Stap 5	Tot slot lossen we deze vergelijkingen op de wortel te nemen. Dat geeft als oplossingen van de oorspronkelijke vergelijking: \[x=\sqrt[5]{-{{2}\over{3}}} \lor x=\sqrt[5]{3}\]

Nieuw voorbeeld