Rekenregels voor differentiëren: Rekenregels voor de afgeleide
De afgeleide van de inverse functie
We brengen in herinnering dat de inverse functie #{f}^{-1}# van de function #f# de functie is die voldoet aan \(f(g(y))=y\) voor elke \(y\) in het domein van \(g\) en \(g(f(x))=x\) voor elke \(x\) in het domein van \(f\). Het differentiëren van de inverse van een functie gaat als volgt.
Inverse functieregel voor differentiatie
De afgeleide van #{f}^{-1}# is #\dfrac{1}{f'\circ f^{-1}}#, dus #\left({f}^{-1}\right)'(x) = \dfrac{1}{f'\left(f^{-1}(x)\right)}#.
Uit de definitie van de inverse functie volgt #f\circ f^{-1}(x)=x#. Nemen we links en rechts de afgeleide naar #x#, dan vinden we:
\[\left(f\circ f^{-1}\right)'(x)=1\]
Het linker lid kunnen we uitschrijven met behulp van de kettingregel
\[\begin{array}{rcl}\left(f\circ g\right)'(x)&=&f'\left(g(x)\right)\cdot g'(x)\tiny. \end{array}\]
Passen we deze regel toe met #g=f^{-1}#, dan vinden we \[\begin{array}{rcl}\left(f\circ f^{-1}\right)'(x)&=&f'\left(f^{-1}(x)\right)\cdot\left(f^{-1}\right)'(x)\tiny.\end{array}\]
Omdat dit gelijk moet zijn aan #\frac{\dd}{\dd x}x=1#, volgt \[f'\left(f^{-1}(x)\right)\cdot \left(f^{-1}\right)'(x)=1\tiny.\]
Delen we deze vergelijking links en rechts door #f'\left(f^{-1}(x)\right)#, dan vinden we \[\left(f^{-1}\right)'(x)=\frac{1}{f'\left(f^{-1}(x)\right)}\tiny.\]
Bekijk een punt #\rv{x_0,y_0}# op de grafiek van #f(x)#. In #x_0# neemt de grafiek van #f# toe met een snelheid van #f'(x_0)#. Nu is het punt #\rv{y_0,x_0}# op de grafiek van #f^{-1}(y)#. In #y_0# neemt de grafiek van #f^{-1}# toe met een snelheid van #\frac{1}{f'(x_0)}#.
Nu we de afgeleide van de inverse functie kennen, kunnen we ook opnieuw kijken naar de afgeleide van de machtfunctie #f(x)=x^a# met #a# een negatief of gebroken getal.
Machtregel voor differentiatie
Als #a# een reëel getal ongelijk #0# is, dan is de afgeleide van de functie #x^a# op #\ivco{0}{\infty}# gelijk aan #ax^{a-1}#. Met andere woorden: #\frac{\dd}{{\dd}x}x^a = ax^{a-1}#.
Dit hebben we al bewezen in Afgeleide van een veeltermfunctie in het geval dat #a# een geheel getal is. Laat, voor het algemene geval, #a = \dfrac{p}{q}# voor twee natuurlijk getallen #p# en #q# die beide ongelijk zijn aan #0# (die keuze mogen we maken omdat de uitdrukking niet gedefinieerd is als #q=0# en we de constante functie hebben als #p=0#).
We berekenen eerst de afgeleide van #x^{\frac{1}{q}}#. Dit is het geval #a = \dfrac{1}{q}#. Omdat dit de inverse functie is van #x^q#, vinden we
\[\frac{{\dd}}{{\dd}x}\left(x^{\frac{1}{q}}\right) =\frac{1}{q(x^ {\frac{1}{q}})^{q-1}} = \frac{1}{q}x^{\frac{1}{q}-1} = ax^{a-1}\tiny.\] Hier is de formule dus correct. Het algemene geval vinden we met behulp van de kettingregel
\[\begin{array}{rcl}\frac{{\dd}}{{\dd}x}\left(x^{\frac{p}{q}}\right)&=&\frac{{\dd}}{{\dd}x}\left(\left(x^{\frac{1}{q}}\right)^p\right)\\ &=&p\left(x^{\frac{1}{q}}\right)^{p-1}\frac{{\dd}}{{\dd}x}\left(x^{\frac{1}{q}}\right)\\&=&p\left(x^{\frac{1}{q}}\right)^{p-1}\frac{1}{q}x^{\frac{1}{q}-1} \\ &=&\frac{p}{q}x^{\frac{p}{q}-\frac{1}{q}+\frac{1}{q}-1} \\ &=& ax^{a-1}\,\tiny,\end{array}\] waarmee de formule afgeleid is.
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.