Bewerkingen met functies: Exponentiële functies en logaritmen
Groei van een exponentiële functie
De grafieken van de exponentiële functies #2^x# en #2^{-x}# zijn als volgt:
Alle grafieken van exponentiële functies hebben een horizontale asymptoot bij \(y=0\) en stijgen tot aan oneindig voor #x# ver van #0# in de juiste richting:
Asymptotische gedrag van exponentiële functies
- Als #a\gt1#, dan #\displaystyle\lim_{x\to-\infty} a^x = 0# en #\displaystyle\lim_{x\to\infty} a^x = \infty#.
- Als #0\lt a\lt1#, dan #\displaystyle\lim_{x\to-\infty} a^x = \infty# en #\displaystyle\lim_{x\to\infty} a^x = 0#.
De twee uitspraken zijn gerelateerd: de grafiek van de functie \(f(x)=\left ( \frac{1}{a} \right )^x=a^{-x}\) (denk aan de eigenschappen van exponenten) wordt verkregen door de grafiek van de functie \(f(x)=a^x\) te spiegelen in de verticale as \(x=0\).
In feite, voor \(a\gt1\) gaat de functie \(a^x\) heel snel richting oneindig als \(x\) naar oneindig gaat:
Exponentiële versus polynomiale groei
Voor \(a\gt1\) en \(n\in\mathbb{N}\) \[\lim_{x\to\infty}\frac{x^n}{a^x}=0\] en \[\lim_{x\to\infty}\frac{a^x}{x^n}=\infty\]
Met andere woorden, de term \(a^x\) wordt veel groter dan de polynoom \(x^n\) (voor elk natuurlijk getal \(n\)), wanneer \(x\) naar oneindig gaat (de term \(a^x\) "groeit sneller" dan de term \(x^n\)). Merk op dat dit geldt ongeacht hoe dicht #a# bij #1# is en ongeacht hoe groot #n# is. Dit is een van de redenen waarom exponentiële groei zo veel aandacht trekt.
Intuïtief is dit in te zien doordat #x^{3}2^{13 x}# in de noemer is de snelst groeiende term is: exponentiële functies groeien veel sneller dan machtsfuncties en de exponent van de exponentiële functie in de noemer is groter dan de exponent van de exponentiële functie in de teller.
Een meer concrete aanpak is de volgende:
\[\begin{array}{rcl}\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{x^{4}\cdot 2^{9 x}}{x^{3}\cdot 2^{13 x} }&=&\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{x^{1}}{2^{4 x}}\\
&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{deling van teller en noemer door }x^{3}\cdot2^{9 x}}\\
&=&\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{x^{1}}{{16}^ x}\\
&&\phantom{xx}\color{blue}{2^{a\cdot b} = (2^a)^b }\\
&=&0\\
&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{ regel over exponentiële versus veelterm groei} }\\
\end{array}\]
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.