Functies: Machtsfuncties
Vergelijkingen van machtsfuncties
Ook voor machtsfuncties kun je vergelijkingen oplossen bijvoorbeeld door gebruik te maken van ontbinden in factoren. Daarvoor gebruik je onderstaande regel.
Hogeremachtswortel
Als #a# een niet-negatief reëel getal is, dan is er precies één niet-negatief reëel getal #b#, zodat #b^n = a#. Dit getal wordt wel als #\sqrt[n]{a}# geschreven; het wordt de #n#-demachtswortel van #a# genoemd.
Oplossingen #b# van #b^n = a# | #a\gt 0# | #a=0# | #a\lt0# |
#n# even | #b=\pm\sqrt[n]{a}# | 0 | - |
#n# oneven | #b=\sqrt[n]{a}# | 0 | #b=-\sqrt[n]{a}# |
#x=\sqrt[4]{{{7}\over{8}}}#
We werken als volgt toe naar een vergelijking zonder wortels.
\[
\begin{array}{rclcl}
-8x^{{{7}\over{2}}}&=&\dfrac{-7}{\sqrt{x}}&\phantom{xxx}&\color{blue}{\text{de gegeven vergelijking}}\\
-8x^{{{7}\over{2}}}\cdot x^{\frac{1}{2}} &= &-7&\phantom{xxx}&\color{blue}{\text{vermenigvuldigd met }\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}}\\
-8x^{4}&=&-7&\phantom{xxx}&\color{blue}{\text{vereenvoudigd met behulp van rekenregels machten}}\\
x^{4}&=&{{7}\over{8}}&\phantom{xxx}&\color{blue}{\text{gedeeld door }-8\tiny.}\\
\end{array}
\]
Aangezien #4# even is, zijn er twee oplossingen, namelijk: #x=\sqrt[4]{{{7}\over{8}}}\lor x=-\sqrt[4]{{{7}\over{8}}}#. Deze twee waarden zijn dus oplossingen van de vergelijking #x^{4}={{7}\over{8}}#, maar niet noodzakelijk van de oorspronkelijke vergelijking #-8x^{{{7}\over{2}}}=\dfrac{-7}{\sqrt{x}}#. Immers, de oorspronkelijke vergelijking is alleen gedefinieerd wanneer #x\gt0#. De negatieve oplossing #x=-\sqrt[4]{{{7}\over{8}}}# valt daarom af, en de enige oplossing is #x=\sqrt[4]{{{7}\over{8}}}#.
We werken als volgt toe naar een vergelijking zonder wortels.
\[
\begin{array}{rclcl}
-8x^{{{7}\over{2}}}&=&\dfrac{-7}{\sqrt{x}}&\phantom{xxx}&\color{blue}{\text{de gegeven vergelijking}}\\
-8x^{{{7}\over{2}}}\cdot x^{\frac{1}{2}} &= &-7&\phantom{xxx}&\color{blue}{\text{vermenigvuldigd met }\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}}\\
-8x^{4}&=&-7&\phantom{xxx}&\color{blue}{\text{vereenvoudigd met behulp van rekenregels machten}}\\
x^{4}&=&{{7}\over{8}}&\phantom{xxx}&\color{blue}{\text{gedeeld door }-8\tiny.}\\
\end{array}
\]
Aangezien #4# even is, zijn er twee oplossingen, namelijk: #x=\sqrt[4]{{{7}\over{8}}}\lor x=-\sqrt[4]{{{7}\over{8}}}#. Deze twee waarden zijn dus oplossingen van de vergelijking #x^{4}={{7}\over{8}}#, maar niet noodzakelijk van de oorspronkelijke vergelijking #-8x^{{{7}\over{2}}}=\dfrac{-7}{\sqrt{x}}#. Immers, de oorspronkelijke vergelijking is alleen gedefinieerd wanneer #x\gt0#. De negatieve oplossing #x=-\sqrt[4]{{{7}\over{8}}}# valt daarom af, en de enige oplossing is #x=\sqrt[4]{{{7}\over{8}}}#.
Sommige functies, die een machtsfunctie bevatten, met onbekende #x# kunnen herleid worden tot eenvoudiger vergelijkingen met onbekende #y# door substituties als #y=f(x)# voor een geschikte (machts)functie #f#.
Los de vergelijking #x^{{{2}\over{3}}}-6\cdot x^{{{1}\over{3}}}+5=0# op voor #x# met behulp van het substitueren van \[y=x^{1/3}\]
Geef je antwoord in de vorm #x=a\vee x=b# als er twee oplossingen zijn, in de vorm #x=a# als er één oplossing is, of schrijf #geen# als er geen oplossingen zijn.
Geef je antwoord in de vorm #x=a\vee x=b# als er twee oplossingen zijn, in de vorm #x=a# als er één oplossing is, of schrijf #geen# als er geen oplossingen zijn.
#x=125\lor x=1#
Dit is als volgt in te zien.\[\begin{array}{rclcl}x^{{{2}\over{3}}}-6\cdot x^{{{1}\over{3}}}+5&=&0&\phantom{x}&\color{blue}{\text{de gegeven vergelijking}}\\
y^2-6\cdot y+5 &=& 0&\phantom{x}&\color{blue}{\text{gesubstitueerd }y=x^{1/3}}\\
\left(y-5\right)\left(y-1\right)&=&0&\phantom{x}&\color{blue}{\text{ontbinding in factoren}}\\
y-5=0&\lor&y-1=0&\phantom{x}&\color{blue}{\text{splitsing naar factoren}}\\
y=5&\lor& y=1&\phantom{x}&\color{blue}{\text{constante termen naar rechts}}\\{}
x=5^3&\lor& x=1^{3} &\phantom{x}&\color{blue}{\text{terugsubstitueren } y^3=x}\\
x=125&\lor& x=1 &\phantom{x}&\color{blue}{\text{verheffing tot de macht } 3}\end{array}\]
Dit is als volgt in te zien.\[\begin{array}{rclcl}x^{{{2}\over{3}}}-6\cdot x^{{{1}\over{3}}}+5&=&0&\phantom{x}&\color{blue}{\text{de gegeven vergelijking}}\\
y^2-6\cdot y+5 &=& 0&\phantom{x}&\color{blue}{\text{gesubstitueerd }y=x^{1/3}}\\
\left(y-5\right)\left(y-1\right)&=&0&\phantom{x}&\color{blue}{\text{ontbinding in factoren}}\\
y-5=0&\lor&y-1=0&\phantom{x}&\color{blue}{\text{splitsing naar factoren}}\\
y=5&\lor& y=1&\phantom{x}&\color{blue}{\text{constante termen naar rechts}}\\{}
x=5^3&\lor& x=1^{3} &\phantom{x}&\color{blue}{\text{terugsubstitueren } y^3=x}\\
x=125&\lor& x=1 &\phantom{x}&\color{blue}{\text{verheffing tot de macht } 3}\end{array}\]
Ontgrendel volledige toegang
Toegang voor leraar
Vraag een demo account aan. Wij helpen je graag op weg met onze digitale leeromgeving.
Toegang voor student
Is jouw universiteit niet aangesloten?
Via Pass Your Math kan je toegang krijgen tot onze cursussen onafhankelijk van je onderwijsinstelling. Bekijk de prijzen en nog veel meer. Of ga naar
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.